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1、河南财经学院 信息学院 廖扬,第四节 逆矩阵及伴随矩阵,1 逆矩阵（P110，定义2.9）,一 基本概念,1.互逆矩阵可换，是同阶方阵。,即：若 成立，则 也成立。,2.逆矩阵唯一。,3.零矩阵不可逆；单位矩阵与其自身互为逆阵。,4.,注：,2 奇异矩阵：,【P111，例2】,【P111，例3】,【例】,河南财经学院 信息学院 廖扬,3 伴随矩阵,二 逆矩阵存在定理,1.矩阵 可逆的充要条件是,2.若A可逆，则,【P114，例4】,【P115，例5】,【P117，例6】,河南财经学院 信息学院 廖扬,三 转置矩阵、逆矩阵、伴随矩阵的运算性质,【例】,河南财经学院 信息学院 廖扬,使得 呢?,使
2、得,即,对于任意非零的数，如果存在另一个数，,倒数：,则说 是 的倒数.,一、逆矩阵产生的背景,矩阵:,运算中的 1，,矩阵，,在矩阵的运算中，,单位阵 相当于数的乘法,那么，对于矩阵，是否存在另一个,河南财经学院 信息学院 廖扬,1、逆矩阵的概念,例如 设,使得,则说矩阵 是可逆的，,并把矩阵 称为 的一个,逆矩阵，,记作,对于 阶矩阵，如果存在 阶矩阵，,定义,河南财经学院 信息学院 廖扬,河南财经学院 信息学院 廖扬,事实上，若设 和 都是 的逆矩阵，,则有,可得,所以 的逆矩阵是唯一的。,河南财经学院 信息学院 廖扬,2 奇异矩阵与非奇异矩阵,设,是奇异矩阵,是非奇异矩阵,河南财经学院
3、 信息学院 廖扬,定义2,设 为 阶方阵，的行列式 的元素 的代数余子式 所构成的矩阵的转置矩阵称为矩阵 的伴随矩阵。,即,记为,3 伴随矩阵,河南财经学院 信息学院 廖扬,解：,【P114，例4】,求 的伴随矩阵。,河南财经学院 信息学院 廖扬,逆矩阵的存在定理：,证明：,若 可逆，,矩阵 可逆的充要条件是,且当A可逆时,河南财经学院 信息学院 廖扬,河南财经学院 信息学院 廖扬,按逆矩阵的定义得,牢记：,记住了吗？,河南财经学院 信息学院 廖扬,若 可逆，则,证明：,河南财经学院 信息学院 廖扬,若 可逆，则 也可逆，,且,证明：,河南财经学院 信息学院 廖扬,若、是同阶可逆阵，则 也可逆
4、，,且,证明：,特别有：,（反序定律）,河南财经学院 信息学院 廖扬,证明：,求证,回顾,河南财经学院 信息学院 廖扬,求证,证明：,河南财经学院 信息学院 廖扬,求证,证明,河南财经学院 信息学院 廖扬,河南财经学院 信息学院 廖扬,若 可逆，则 也可逆，,且,证明：,求证,河南财经学院 信息学院 廖扬,求证,证明,河南财经学院 信息学院 廖扬,求证,证明,原命题得证,河南财经学院 信息学院 廖扬,【P111，例2】,证明矩阵,证明：,的逆矩阵为,故，原命题得证,河南财经学院 信息学院 廖扬,【P111，例3】,，求证A可逆，并求其逆矩阵.,证明：,故，A可逆，且,河南财经学院 信息学院 廖
5、扬,【例】,可逆，并求它们的逆矩阵.,由,证明,河南财经学院 信息学院 廖扬,由,还可以得到,但是，等式右端为0的这个结论对于本题没有用处。我们希望等式右端应该为E或者kE。,河南财经学院 信息学院 廖扬,解：,【P115，例5】,河南财经学院 信息学院 廖扬,【P117，例6】,设A是非奇异矩阵，且AB=AC,求证：B=C,将AB=AC 两端同乘以 得,证明：由于A是非奇异矩阵，故 存在。,即,从而,同理，A 可逆时，由 AB=O 可得 B=O。,即消去律成立,河南财经学院 信息学院 廖扬,【例】,设A的逆矩阵为,求,解：,河南财经学院 信息学院 廖扬,河南财经学院 信息学院 廖扬,河南财经学院 信息学院 廖扬,河南财经学院 信息学院 廖扬,河南财经学院 信息学院 廖扬,
