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1、递归数列的极限 1,递归数列的极限（2）,白鹭溪,递归数列的极限 2,考虑以下递归定义的数列：,其中m是任何正实数。,可以证明：以上数列(1)当m=2时是常数列；(2)当m2时单调减少的；(3)当m2时单调增加的。数列总是收敛的，且,递归数列的极限 3,先来用Excel做一个实验看看数列的趋势,Excel实验,递归数列的极限 4,m=1.8,递归数列的极限 5,m=1.8,数列单调增加，且有上界。,递归数列的极限 6,m=12,递归数列的极限 7,m=12,数列单调减少，且有下界。,递归数列的极限 8,m=2,递归数列的极限 9,m=2,数列为常数列,递归数列的极限 10,其中m是任何正实数。
2、,下面证明：当m=2时是常数列；当m2时单调减少，且有下界；以上数列当m2时单调增加，且有上界。,递归数列的极限 11,(1)当 m=2时,数列为常数列。,递归数列的极限 12,(2)数列当m2时数列单调减少，且有下界。,首先，,然后假设，,则,所以，由数学归纳法，对所有的 n，都有,，于是数列是单调减少的。,（因为）,显然，这个正数列以0为下界。,递归数列的极限 13,(3)数列当m2时单调增加，且有上界m+2。,首先，,然后假设，,则,所以，由数学归纳法，对所有的 n，都有,，于是数列是单调增加的。,（因为）,递归数列的极限 14,这就证明了，是数列的上界。,下面用数学归纳法证明数列有上界,首先，,然后假设，,。则,（因为）,所以，由数学归纳法，对所有的 n，都有,递归数列的极限 15,根据单调有界数列必有极限的准则，对所有大于0的数m，以上数列都收敛。记,由,，得,两端取极限：,得 或,由二次方程的求根公式，解得,即,（舍去负根）,
