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1、9-1 二重积分的概念与性质,二重积分的概念二重积分的性质,特点：平顶.,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,关于曲顶柱体,问题:曲顶柱体的体积?,步骤如下：,用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,曲顶柱体的体积,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似看作均匀薄片，,所有小块质量之和近似等于薄片总质量,二、二重积分的概念,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,对二重积分定义的说明：,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,(2)如何
2、去描述这个柱体？,(1)若被积函数不定号呢？,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,二重积分的性质,性质1(线性)性质2(区域可加性)注:可推广到D可分为有限多个区域情形.,性质3性质4,性质5 性质6(二重积分的中值定理),估值定理,例1.比较下列积分的大小:,其中,解:积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点(1,0),而域 D 位,从而,于直线的上方,故在 D 上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.判断积分,的正负号.,解:分积分域为,则,原式=,猜想结果为负 但不好估计.,舍去此项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.估计下列积分之值,解:D 的面积为,由于,积分性质5,即:1.96 I 2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题,将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.,定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数,思考题解答,作业：,
