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1、,*三、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第十章,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X-型区域,则,若D为Y-型区域,则,一、利用直角坐标计算二重积分,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.,由于,说明:(1)若积分区域既是 X-型区域又是Y-型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,例1.计算,其中D 是直线 y1,x2,及,yx 所围的闭区域.,解法1.将D看作X-型区域,则,解法2.将D看作
2、Y-型区域,则,例2.计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线,则,例3.计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D 为X-型域:,先对 x 积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,例4.交换下列积分顺序,解:积分域由两部分组成:,视为Y-型区域,则,例5.计算,其中D 由,所围成.,解:令,(如图所示),显然,二、利用极坐标计算二重积分,对应有,在极坐标系下,用同心圆 r=常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线=常数,分划区域D 为,即,设,则,特别,对,此时若 f 1
3、 则可求得D 的面积,思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),例6.计算,其中,解:在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,注:,利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上,故式成立.,又,例7.求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:设,由对称性可知,*三、二重积分换元法,定积分换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,(3)变换,则,定理:,变换:,是一一对应的,证:根据定理条件可知变换 T 可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,
4、任取其中一个小矩,形,其顶点为,通过变换T,在 xOy 面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,同理得,当h,k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四,边形,故其面积近似为,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如,直角坐标转化为极坐标时,例8.计算,其中D 是 x 轴 y 轴和直线,所围成的闭域.,解:令,则,例9.计算由,所围成的闭区域 D 的面积 S.,解:令,则,例10.试计算椭球体,解:,由对称性,令,则D 的原象为,的体积V.,内容小结,(1)二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,则,(2)一般换元公式,且,
5、则,极坐标系情形:若积分区域为,在变换,下,(3)计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,应用换元公式,思考与练习,1.设,且,求,提示:,交换积分顺序后,x,y互换,2.交换积分顺序,提示:积分域如图,作业,P152 1(2),(4);2(3),(4);5;6(2),(4);11(2),(4);13(3),(4);14(2),(3);15(1),(4);*19(1);*20(2),第三节,解：,原式,备用题,1.给定,改变积分的次序.,2.计算,其中D 为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,
