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1、第三章 量子力学初步,思维世界的发展,从某种意义上说,就是对“惊奇”的不断摆脱。爱因斯坦,3.1 物质的二象性3.2 测不准关系3.3 波函数及其物理意义3.4 薛定谔波动方程3.5 量子力学的几个简例3.6 量子力学对氢原子的描述,2.1波粒二象性,一、经典物理学中的粒子和波二、光的波粒二象性三、物质的波粒二象性,一、经典物理学中的粒子和波,在经典物理学中波和粒子是完全不同的两个概念。是自然界中仅有的两种能量传递的方式。是波就不能是粒子，是粒子就不能是波。是就是是，否就是否，无法用波和粒子描述同一事物。,粒子的特性：,定域性，占据一定的空间，有确定的质量和动量，粒子和粒子之间是分离的。粒子的
2、运动有确定的轨道。,波的特性：,广延性，周期性,迭加性，能产生干涉、衍射、偏振等现象。,二、光的波粒二象性,光是一种电磁波已被我们充分认识，并被干涉、衍射、偏振等实验和麦克斯韦理论完全证明。光在传播时显示波动性。,光是粒子性和波动性的矛盾统一体。,或,光的波动性:,光的粒子性：,光电效应和康普顿效应等证明光的粒子性。光在与物质作用，转移能量时显显示粒子性。,三、物质的二象性,“整个世纪以来，在光学上比起波动的研究方法，是过于忽略了粒子的研究方法，在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们把粒子的图象想的太多，而过分忽略了波的图象？”“所有的物质粒子（mo不等于零）都具有波粒二象性，任何物
3、质粒子都伴随着波，而且不可能将物体的运动和波的传播分开。,1、德布罗意假说(L.De Broglie),能量为E，动量为P的粒子，伴随的波的波长和频率为：,与实物粒子相联系的波，称为德布罗意波。,2、德布罗意关系式：,戴威逊革末实验装置示意图,3、电子波动性的实验验证,目的,证明电子具有波动性,原理,（1）电子波长的估计,（2）衍射波具有极大值 的条件,实验原理图,可用实验检验的公式：,实验中和d不变，=800，d=2.03（镍单晶）,在镍单晶上的衍射实验结果,戴革的电子衍射实验有利地证明了电子的波动性，也证明了德布罗意公式的正确性。三十年代以后，实验进一步发现了中子、质子，中性原子的衍射现象
4、，证明了一切微观粒子都具有波动性。它们本身又是粒子，因而具有波粒二象性。且波长都由=h/p 确定，进一步证实了德布罗意假设的真实性。很小，当p=mv很大时，宏观物体显示不出波动性，并不是德布罗意关系式不适用。,戴维森(左)和盖尔曼在被贝尔实验室，电子衍射在这里首次发现,高压电源,电子源,加速区,电磁线圈（聚光焦）,被观测的样品,电磁线圈（物镜）,第一个像,电磁线圈（像投影仪）,最后的像,电子显微镜里的磁聚焦透镜排列原理图,电子波动性的实际应用,电子显微镜影视,2.2 测不准关系,一、坐标和动量的测不准关系二、能量和时间、角动量和角 位移的测不准关系,1、同时确定电子坐标和动量的实验,q 缝宽:
5、坐标的不确定量;衍射角;p 动量的不确定量;p q=h,一、坐标和动量的测不准关系,2、测不准关系式的几种表示,粗略的表示：,分量形式：,海森堡严格推出：,3、物理意义,(1)也就是说，当粒子的位置X完全确定(X 0),那么粒子的动量PX，的数值就完全不确定（Px)；反之，当粒子处于一个动量Px完全确定的状态时（Px),则粒子的坐标X就完全不确定，即不可能把粒子固定住。,(2)不确定关系完全是由于微观粒子的波粒二象性所决定的，与所用仪器的精密程度无关；与测量技术无关。事实上因为波粒二象性，使得粒子在客观上不能同时具有确定的坐标和动量。(3)测不准关系给出了经典理论适用的界限。(4)我们无法用轨
6、道的概念来描述微观粒子的运动。,二、能量和时间、角动量和角位移的测不准关系,汽车闯入了客厅,漫画1,漫画2,2.3波函数及其物理意义,、自由粒子的波函数二、非自由粒子的波函数三、波函数的物理意义四、波函数的性质,、自由粒子的波函数,经典波的描述,=0cos2(t-),=ocos2/h(Et-Pr)=ocos2/h(Pr-Et)(1),自由粒子的波函数,=oe2i(pr-Et)/h(2),对非自由粒子，由于受外场作用,其波函数与自由粒子的不同。一般情况下，是一个坐标与时间的函数(r,t),但它的具体形式要根据具体问题来确定。用波函数描述微观粒子的状态，这是量子力学的基本假设之一,这种新的描述方法
7、,充分体现了粒子的波粒二象性。,、非自由粒子的波函数,三、波函数的物理意义,为了说明波函数的物理意义,我们再来考察一下电子的衍射实验。电子在多晶薄膜上的衍射图样,可以用两种不同实验方法来获得。,大量电子一次入射,立即在屏幕上形成衍射图样。,方法一,方法二,电子一个一个的入射，经过足够长的时间，在屏幕上形成同样的衍射图样。,上述实验直接否定了两种错误观点：,1.把电子的德布罗意波与经典波(如声波)相类比,认为与电子相联系的波是产生在电子形成的媒质之中,是大量电子相互作用的结果。,2.一个粒子就是一个波,或粒子只是由许多波组合起来的一个波包,波包的速度也就是粒子的速度,波包的活动表现出粒子的性质。
8、,电子衍射动画3,粒子与描写它的波之间的关系：,没有确定的轨道和途径,没有确定的位置。衍射图样，表现为一个电子的多次行为的统计结果或许多电子的一次行为的统计结果。,伴随粒子的波反映了粒子具有波粒二象性,表现在不可分割、稳定不变的特性，表现在它的一次行为上。,电子的粒子性,电子的波动性,I|A|2,IN,I|A|2 N,.波函数模的平方|(x,y,z,t)|2(波在空间某点的强度)与t时刻在空间某点(x,y,z)处单位体积内发现粒子的几率(x,y,z,t)成正比.或者说,t时刻在x到x+dx,y到y+dy,z到z+dz的体积d=dxdydz 内找到粒子的几率(x,y,z,t)d 与|(x,y,z
9、,t)|2 d成正比。,玻恩对波函数物理意义的统计解释:,波函数物理意义的数学表示：,1、波函数与=C描写的是同一状态(C为任意常数）。,四、波函数的性质,2、波函数必须是归一化的,|(x,y,z,t)|2dxdydz=1|(r,t)|2d=C2|2d=1,3、波函数的标准条件,波函数必须是单值,有限,连续的函数,2.4 薛定谔方程,一、薛定谔波动方程的建立二、力学量的算符表示,一、薛定谔波动方程的建立,1、自由粒子的薛定谔波动方程,2、非自由粒子的薛定谔方程,3、定态薛定谔方程:,二、力学量的算符表示,动量算符,坐标算符,角动量算符,能量算符,哈密顿算符,本征值方程,2.5定态问题的几个简例
10、,势垒贯穿,线性谐振子,一维无限深势阱中运动的粒子,无限深势阱,V=,x,0,-a/2,a/2,I,II,II,x-a/2,x a/2,0-a/2xa/2,V(x)=,线性谐振子,0,-a,a,V(x),总能,X,V(x)=k x2/2,k=m2=2=,V=0,波函数和能量,uI=0,uII=,几率分布,x,a/2,0,-a/2,|u(x)|2,-a/2,0,a/2,x,u(x),1,2,3,-1 0 1,n=0,n=1,-2-1 0 1 2,u(x),|u(x)|2,V(x),x,E2,E1,E0,x,V(x),E1,E4,E3,E2,能级,双原子分子,一维有限深势阱,势垒贯穿,E,V,E,
11、V0,V=0,V=0,I,II,III,a,0,x,透射波的几率,扫描隧道显微镜,隧道效应的实际应用,2.6量子力学对氢原子的描述,一、氢原子的定态薛定谔方程,x=r sincos cos=z/ry=r cossin tg=y/xz=r cos r2=x2+y2+z2,直角坐标,坐标变换,球坐标,令(r,)=R(r)Y(,),只有当=(+1)=0,1,2,;|m|才有符合标准条件的解,只有当=m2m=0,1,2,才有符合标准条件的解,当E0时有满足标准条件的解 必须,Y(,)=()(),二、求解氢原子的定态方程,由波函数的归一化条件确定常数,能量和能级,在两能级之间跃迁时放出光子的能量:,相应
12、光谱线的波数,氢原子能级图,14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,8 5,3 2 1,电离连续区,938,950,973,1,026,1,215,赖曼系,3,798,3,835,3,889,3,970,4,102,4,340,4,861,6,563,巴耳末系,9,546,10,050,12,818,10,938,18,751,帕邢系,26,300,40,500,布喇开系,74,000,普丰特系,发射,吸收,图8.3 氢原子能级图,能量(ev),14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,8 5,3 2 1,电离连续区,938,950,9
13、73,1,026,赖曼系,3,798,3,835,3,889,3,970,4,102,4,340,4,861,6,563,巴耳末系,9,546,10,050,12,818,10,938,18,751,帕邢系,26,300,40,500,布喇开系,74,000,普丰特系,发射,吸收,图8.3 氢原子能级图,能量(ev),14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,8 5,3 2 1,电离连续区,938,950,973,1,026,赖曼系,3,798,3,835,3,889,3,970,4,102,4,340,4,861,6,563,巴耳末系,9,546,10,050,1
14、2,818,10,938,18,751,帕邢系,26,300,40,500,布喇开系,74,000,普丰特系,发射,吸收,图8.3 氢原子能级图,能量(ev),14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,8 5,3 2 1,电离连续区,938,950,973,1,026,赖曼系,3,798,3,835,3,889,3,970,4,102,4,340,4,861,6,563,巴耳末系,9,546,10,050,12,818,10,938,18,751,帕邢系,26,300,40,500,布喇开系,74,000,普丰特系,发射,吸收,图8.3 氢原子能级图,能量(ev),
15、14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,8 5,3 2 1,电离连续区,938,950,973,1,026,赖曼系,3,798,3,835,3,889,3,970,4,102,4,340,4,861,6,563,巴耳末系,9,546,10,050,12,818,10,938,18,751,帕邢系,26,300,40,500,布喇开系,74,000,普丰特系,发射,吸收,图8.3 氢原子能级图,能量(ev),14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,8 5,3 2 1,电离连续区,938,950,973,1,215,赖曼系,3,798,3
16、,835,3,889,3,970,4,102,4,340,4,861,6,563,巴耳末系,9,546,10,050,12,818,10,938,18,751,帕邢系,26,300,40,500,布喇开系,74,000,普丰特系,发射,吸收,图8.3 氢原子能级图,能量(ev),14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,8 5,3 2 1,电离连续区,938,950,973,1,215,赖曼系,3,798,3,835,3,889,3,970,4,102,4,340,4,861,6,563,巴耳末系,9,546,10,050,12,818,10,938,18,751,
17、帕邢系,26,300,40,500,布喇开系,74,000,普丰特系,发射,吸收,图8.3 氢原子能级图,能量(ev),14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,8 5,3 2 1,电离连续区,938,950,973,1,215,赖曼系,3,798,3,835,3,889,3,970,4,102,4,340,4,861,6,563,巴耳末系,9,546,10,050,12,818,10,938,18,751,帕邢系,26,300,40,500,布喇开系,74,000,普丰特系,发射,吸收,图8.3 氢原子能级图,能量(ev),14 13 12 11 10 9 8 7
18、 6 5 4 3 2 1 0,8 5,3 2 1,电离连续区,938,950,973,1,215,赖曼系,3,798,3,835,3,889,3,970,4,102,4,340,4,861,6,563,巴耳末系,9,546,10,050,12,818,10,938,18,751,帕邢系,26,300,40,500,布喇开系,74,000,普丰特系,发射,吸收,图8.3 氢原子能级图,能量(ev),14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,8 5,3 2 1,电离连续区,938,950,973,1,026,1,215,赖曼系,3,798,3,835,3,889,3,9
19、70,4,102,4,340,4,861,6,563,巴耳末系,9,546,10,050,12,818,10,938,18,751,帕邢系,26,300,40,500,布喇开系,74,000,普丰特系,发射,吸收,图8.3 氢原子能级图,能量(ev),H6563,H H H4861 4341 4102,巴尔末线系的前4条谱线,波长埃,氢光谱,证明存在能级的实验,原子的线状光谱夫兰克赫兹实验,参看第一章（在第一章已经介绍）,波函数,nlm(r,)=Rnl(r)Ylm(,)Ylm(,)=lm()m(),n=1,2,3=0,1,2,n-1m=0,1,2,量子数,氢原子和类氢原子的径向波函数,和Lz的
20、共同本征函数,m,0 0,01-1,1,量子数,氢原子和类氢原子的角向波函数,几率分布,d,d,dS,dr,r,d,y,z,x,rd,rsin,径向几率分布：,在半径为r到r+dr的球壳内找到电子的几率,n(r)dr=Rn(r)Rn*(r)r2dr=rRn(r)2dr,径向几率密度：,r,dr,n(r)=Rn(r)2r2,基态几率分布：,当r=a1时，10(r)有最大值,波尔理论与量子理论的比较,纵坐标是,电子在（，）附近的立体角d中的几率：,角向几率分布：,角分布几率密度：,对于s态(=0 m=0),基态角几率分布：,角向几率密度和角分布：,对于p态(=1,m=0,1）,Z,Y,Z,Y,X,Y,d态电子云（角分布）,X,Z,Y,以2,1,1态为例,径向函数：,角向函数：,整个空间几率分布：,氢原子的角动量,角动量:,角动量分量,2.7 几个量子数的物理意义,
