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1、第十章,ITO引理,在随机环境中，规范的导数不存在。资产价格的冲击是不可预测的，这种冲击在连续时间中的行为“非常不规则”。所导出的资产价格是连续的，但不一定光滑。我们不是使用导数，而是使用随机微分方程。ITO法则为简单的随机微分方程给出了解析式，导出了直接计算的法则。我们以各种类型的导数作为讨论的开始。,导数的类型,第二种是全微分：dFt=FsdSt+Ftdt 全微分是更为“现实”的一个概念。假设时间和标的证券的价格St都发生变化，对此F(St,t)的总体反应就可以计算出来。所得到的结果就是随机微分dFt。它代表的是衍生资产的价格在时间区间dt上的变化。,例子,ITO引理,链式法则的随机版本就
2、是ITO引理。令St是依赖于维纳过程Wt的连续时间过程。F(St,t)是St的函数，我们希望计算dt时间后F所发生的变化。时间会从两种方式对F(St,t)产生影响。首先t会对F(St,t)产生直接影响。而随着时间流逝，我们能得到关于Wt的新信息，观察到一个新的增量dSt。这两种效应之和就是随机微分d(St,t).,我们对F(St,t)应用这一公式。当然F必须是关于St的光滑函数。但这里有两个地方要复杂一些，首先，这里涉及两个变量St和t；其次，St是随机过程。我们对F(Sk,k)应用泰勒级数公式，其中Sk=kh+k Wk在信息集合Ik-1下，Sk-1是已知的。用泰勒级数公式将F(Sk,k)在S
3、k-1和k-1附近进行展开：,随机积分中的“大小”概念,这等价于是在上面的泰勒级数中假设S很小但不能忽略，当S0时，与(S)2，(S)3有关的项很小且可以忽略。将其忽略后就得到了上面的全微分公式。我们注意到当S越来越小时，(S)2，(S)3等项变化的更快。下图对此进行了说明。其中 g1=S g2=(S)2,gi,S,g1,g2,ITO公式,在上面的情况，当h0时，就可以得出ITO引理。ITO引理定义如下：令F(St,t)是关于t和随机过程St的二次可微函数,dSt=atdt+tdWt,t0飘逸参数at和扩散参数t都有很好的性质。,在ITO公式情形中，驱动St的SDE一般会给出，dSt=atdt
4、+tdWt 因此，ITO公式可以视为使用St的SDE来得到F(St,t)的SDE的工具。ITO公式显然在处理金融衍生产品时非常有用。一旦标的资产的SDE给定，我们就可以使用ITO公式来确定金融衍生资产的SDE。,ITO引理的用途：作为链式法则,注意ITO公式在这种特殊情形中所导出的SDE的参数为：a(It,t)=1(It,t)=2Wt因此，飘逸项是常数，扩散项依赖于信息集It.,ITO引理的用途：作为积分工具,下面对如何用ITO公式计算ITO积分进行总结：1.猜测F(Wt,t)的函数形式。2.使用ITO公式计算F(Wt,t)的SDE。3.对这个新的SDE的两边同时积分得到积分方程，这个方程中的
5、积分比原始方程更容易计算。4.重新组合就得到想要的结果。,ITO引理的积分形式,更为复杂的情形,到目前为止，所介绍的ITO公式还不足以解决实践者在金融市场上会遇到的一般性环境中的问题。一种情形是函数F不只依赖于单一的随机变量，这种情况下需要考虑多维情形。另一种情况更复杂一些。考虑到金融市场要受到稀有事件的影响。我们希望将跳跃纳入到SDE之中。,多维情形,其中，ai(t)和ij(t)是可能依赖于Si(t)的飘逸参数和扩散参数。W1(t)和W2(t)是两个独立的维纳过程。在这个双变量框架中，S1(t)和S2(t)是受维纳过程影响的两个随机过程。因为参数不同，影响两个方程的误差项也不同。设F(S1(
6、t),S2(t),t)是S1(t)和S2(t)的连续，二次可微函数。应该怎样书写随机微分dFt呢？,与金融衍生品有关的一个例子,以债券为标的的期权是最普通的利率衍生品。对这些产品的定价过程中，收益曲线起着关键作用。一类利率期权模型假设收益曲线取决于短期利率rt和长期利率Rt两个状态变量。利率衍生品的价格记为F(rt,Rt,t)(t0,T),财富,ITO公式与跳跃,前面我们始终假设标的过程St是随机冲击的函数，随机冲击用维纳过程表示。但在现实中，随机冲击可能存在跳跃。下面给出ITO公式在这种情况下的扩展。设所观察到的过程St满足如下SDE：dSt=atdt+tdWt+dJt,t0,其中，dWt是标准维纳过程，新的一项dJt表示可能的无法预期的跳跃。跳跃在有限的区间h上的均值为0：EJt=0我们需要跳跃的如下结构：Jt在跳跃之间是常数。在跳跃时刻，Jt的变化大小为ai,i=1,k跳跃发生率t可能依赖于St的历史值。一旦跳跃发生，就可以对跳跃的类型进行独立的随机选择。跳跃大小ai发生的概率是pi。,第十章 完,
