[其它技巧]大学量子力学QMChap3.ppt

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1、第三章 量子力学中的力学量,经典力学：粒子的运动状态由坐标和动量 描述，力学量由的坐标和动量的函数描述。例如：动能，势能，角动量。量子力学：粒子的运动状态由波函数 描述，力学量由算符描述。需要什么样的算符来描述，如何描述，正是本章的内容。,主要内容,3.1 表示力学量的算符3.2 动量算符和角动量算符3.3 电子在库仑场中的运动3.4 氢原子3.5 厄密算符的本征函数的正交性3.6 算符与力学量的关系3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系3.8 力学量平均值随时间的变化 守恒定律,（一）算符定义（二）算符的一般特性,3.1 表示力学量的算符,算符代表对波函数进行某种运算

2、或变换的符号,1）du/dx=v，d/dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商，故称为微商算符。,2）x u=v，x 也是算符。它对 u 作用 是使 u 变成 v。,（一）算符定义,用算式表示为：算符 表示对函数 的运算得到另一个函数。例如:,（6）厄密算符(7)算符的本征值方程(8)力学量算符的构成,（1）线性算符（2）算符相等（3）算符之和（4）算符之积（5）算符函数,（二）算符的一般特性,（1）线性算符,定义:(c11+c22)=c11+c22其中c1,c2是任意复常数，1,1是任意两个波函数。,例如：,若两个算符、对体系的任何波函数 的运算结果都相同，即=，则算符 和算符 相等记为=

3、。,开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。,（2）算符相等,（3）算符之和,定义:若两个算符、,对体系的任何波函数 有：(+)=+=则+=称为算符之和。,例如:,注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。-=+（-）。很易证明线性算符之和仍为线性算符。,显然，算符求和满足交换率和结合率。,（4）算符之积,定义:若()=()=则=其中是任意波函数。,一般来说算符之积不满足交换律，即 这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。,若，则称 与 不对易。,设给定一函数 F(x),其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛,则可定义算符 的函数 F(

4、)为:,（5）算符函数,例如:,这样形式的方程称为算符的本征值方程。,本征值方程的解：求得满足方程的一系列本征值：和相应的本征函数:,（6）算符的本征值方程,(7)厄密算符,1.定义:满足下列关系的算符称为 厄密算符.,注 II:两个厄密算符之积一般不是厄密算符,除非二算符对易。(请同学们自己证明),注 I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。,2.注:,若 则有 证毕.,证明:,3.定理:厄密算符的本征值一定是实数。,量子力学中表示力学量的算符必需是线性,厄密算符,且它的本征函数构成完备系.经典力学中力学量是坐标r和动量p的函数,把坐标保持不变,动量换为动量算符就构成了量子力学中相应的力学量算符.

5、,例如,没有经典对应的力学量则唯象地引入,如宇称和自旋等.,(8)量子力学中力学量算符的构成,（一）动量算符（1）Dirac 函数（2）动量本征方程（3）动量本征函数归一化（二）角动量算符（1）角动量算符的形式（2）角动量本征方程（3）角动量算符的对易关系（4）角动量升降阶算符,3.2 动量算符和角动量算符,(一)Dirac 函数,1.定义：,或等价的表示为：对在x=x0 邻域连续的任何函数f（x）有：,2.性质：,推广到三维：,3.函数 亦可写成 Fourier 积分形式：,令 k=p/,dk=dp/,则,此式是函数 的积分表示式.,（二）动量算符的本征值和本征函数,1.动量本征方程,I.求

6、解,采用分离变量法，令：,解方程式可以得到,这里的常数c是真正的常数这正是自由粒子的 de Broglie 波的空间部分波函数。,于是：,2.归一化系数的确定,无法正常归一化.,连续谱本征函数的归一化 连续谱本征函数规定归一化为函数即:,（3）箱归一化,在箱子边界的对应点A,A上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件。,据上所述，具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为-函数。,但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。,周期性边界条件,这表明，px 只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变

7、成了分立谱。,这时归一化系数 c 可由归一化条件来确定：,讨论：,（1）由 px=2nx/L,py=2ny/L,pz=2nz/L,可以看出，相邻两本征值的间隔 p=2/L 与 L 成反比。当 L 选的足够大时，本征值间隔可任意小，当 L 时，本征值变成为连续谱。,（2）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱归一化为 函数,（3）p(r)expiEt/就是自由粒子波函数，在它所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。,(三）角动量算符,（1）角动量算符,(I)直角坐标系,定义角动量平方算符,(2)球坐标,将（1）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,将

8、（2）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,对于任意函数f(r,)（其中，r,都是 x,y,z 的函数）则有：,将（3）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,将上面结果 代回原式得：,则角动量算符 在球坐标中的 表达式为：,(3)L2的本征值问题,该方程的解就是球函数Yl m(,)，其表达式：,为使 Y(,)在 变化的整个区域(0,)内都是有限的，则必须满足：=（+1),其中=0,1,2,.,归一化常数，由归一化条件确定,得到归一化常数,结果,其正交归一 条件为：,具体计算请参考有关数学物理方法的书籍，在这里就不作详细介绍了。,(4)本征值的简并度,(A)简并：属于同一个本征值的线性无关的

9、本征函数有若干个，这种现象称为简并。(B)简并度：算符F的属于第n个本征值的线性无关的本征函数有fn个，称算符F的第个n本征值是fn度简并。,算符 本征值的简并度,由于量子数 表征了角动量的大小，所以称为角量子数；m 称为磁量子数。,可知，对应一个 值，m 取值为 0,1,2,3,.,共(2+1)个值。因此当 确定后，尚有(2+1)个磁量子状态不确定。换言之，本征值 的简并度是(2+1)度。,根据球函数定义式,3.3 电子在库仑场中的运动,（一）有心力场下的 Schrdinger 方程（二）求解 Schrodinger 方程（三）使用标准条件定解（四）归一化系数（五）总结,返回,H的本征方程,

10、1.哈密顿算符,（一）有心力场下的 Schrodinger 方程,（2）分离变量求解方程,角向方程的解,中心力场问题可以分离变量简化为两个方程，一个是角向方程，另一个是径向方程。下面来分别讨论,角向方程就是角动量平方算符的本征值方程,它的解已得到了.于是中心力场问题归结为求解径向方程：,显然，对于 不同的值，有不同的径向方程。先求得方程的通解，再考虑波函数标准条件，即可得到能级 和波函数。一般讲，能级 和径向波函数：它们都与两个量子数n和l有关。,1.库仑场,(二)电子在库仑场中运动,2.求解径向方程：,我们只讨论束缚态 E0,令,（2）求解,(I)解的渐近行为,时，方 程变为,所以可 取 解

11、 为,有限性条件要求 A=0,2,(II)求级数解,令,为了保证有限性条件要求：,当 r 0 时 R=u/r 有限成立,即,代入方程,令=-1 第一个求和改为:,把第一个求和号中=0 项单独写出，则上式改为：,再将标号改用 后与第二项合并，代回上式得：,s(s-1)-(+1)b0=0,s(s-1)-(+1)=0,S=-不满足 s 1 条件，舍去。,s=+1,高阶项系数：,(+s+1)(+s)-(+1)b+1+(-s)b=0,系数b的递推公式,注意到 s=+1,上式之和恒等于零，所以得各次幂得系数分别等于零，即,2.使用标准条件定解,（3）有限性条件,1.0 时，R(r)有限已由 s=+1 条件

12、所保证。,2.时，f()的收敛性 如何？需要进一步讨论。,所以讨论波函数 的收敛 性可以用 e 代替 f(),后项与前项系数之比,可见若 f()是无穷级数，则波函数 R不满足有限性条件，所以必须把级数从某项起截断。,与谐振子问题类似，为讨论 f()的收敛性现考察级数后项系数与前项系数之比：,最高幂次项的 max=nr,令,注意 此时多项式最高项 的幂次为 nr+1,则,量 子 数 取 值,由 定 义 式,由此可见，在粒子能量 小于零情况下（束缚态）仅当粒子能量取 En 给出 的分立值时，波函数才满 足有限性条件的要求。,En 0,将=n 代入递推公式：,利用递推公式可把 b1,b2,.,bn-

13、1 用b0 表示 出来。将这些系数代入 f()表达式得：,其封闭形式如下：,缔合拉盖尔多项式,总 波 函 数 为：,至此只剩 b0 需要归一化条件确定,则径向波函数公式：,径向波函数,第一Borh 轨道半径,使用球函数的 归一化条件：,利用拉盖尔多项式的封闭形式采用与求谐振子波函数归一化系数类似的方法就可求出归一化系数表达式如下：,从而系数 b0 也就确定了,3.归一化系数,下面列出了前几个径向波函数 R n l 表达式：,（1）能级和波函数,（2）能级简并性,能量只与主量子数 n 有关，而本征函数与 n,m 有关，故能级存在简并。,n=nr+l=0,1,2,.nr=0,1,2,.,（三）总结

14、,能级En 是n2度简并(不考虑自旋).当n=1 对应于能量最小态，称为基态能量，E1=Z2 e4/2 2，相应基态波函数是100=R10 Y00，所以基态是非简并态。,当 n 确定后，=n-nr-1，所以 最大值为 n-1。当 确定后，m=0,1,2,.,。共 2+1 个值。所以对于 E n 能级其简并度为：,（4）简并度与力场对称性,由上面求解过程可以知道，由于中心力场是球对称的，所以径向方程与 m 无关，而与 有关。因此，对一般的有心力场，解得的能量 E 不仅与径量子数 nr有关，而且与 有关，即 E=Enl，简并度就为(2+1)度。但是对于库仑场-Ze2/r 这种特殊情况，得到的能量只

15、与 n=nr+1有关。所以又出现了对 的简并度，这种简并称为附加简并。这是由于库仑场具有比一般中心力场 有更高的对称性的表现。,（一）二体问题的处理（二）氢原子能级和波函数（三）类氢离子（四）原子中的电流和磁矩,返回,3.4 氢原子,量子力学发展史上最突出得成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意得解释。氢原子是最简单的原子，其 Schrodinger方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。,经典二体运动可化为：,I 一个具有折合质量的粒子在场中的运动 II 二粒子作为一个整体的质心运动,一个电子和一个质子组成的氢原子的哈密顿算符：,将二体问题化为一体问题,令

16、,（一）二体问题的处理,作变量变换:,作变量变换:,系统 Hamilton 量则改写为：,其中=12/(1+2)是折合质量。,相对坐标和质心坐标下 Schrodinger 方程形式为：,代入上式 并除以(r)(R),于是：,第二式是质心运动方程，描述能量为(ET-E)的自由粒子的定态 Schrodinger方程，说明质心以能量(ET-E)作自由运动。,只与 R 有关,只与 r 有关,（二）氢原子能级和波函数,问题的求解上一节已经解决，只要令：Z=1,是折合质量即可。于是氢原子能级和相应的本征函数是：,我们感兴趣的是描述氢原子的内部状态的第一个方程，它描述一个质量为 的粒子在势能为 V(r)的力

17、场中的运动。这是一个电子相对于核运动的波函数(r)所满足的方程，相对运动能量 E 就是电子的能级。,n=1 的态是基态，E1=-(e4/2 2)，当 n 时，E=0，则电离能为：=E-E1=-E1=e4/2 2=13.579 eV.,（1）能级,1.基态及电离能,2.氢原子谱线,（2）波函数和电子在氢原子中的几率分布,1.氢原子的波函数,2.径向几率分布,例如：对于基态,电子在(r,)点附近体积元d=r2sin drdd 内的几率,在半径 r r+dr 球壳内找到电子的几率,考虑球谐函数 的归一化,1，0,2，0,3，0,4，0,0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33

18、36,r/a0,a0Wn l(r),0.6,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1,Wn l(r)r 的函数关系,n，l,Rn l(r)的节点数 n r=n 1,n，l,Rn l(r)的节点数 n r=n 1,3.几率密度随角度变化,Rnl(r)已归一,电子在(,)附近立体角 d 内的几率,下面图示出了各种,m态下，Wm()关于 的函数关系，由于它与 角无关，所以图形都是绕z轴旋转对称的立体图形。,例1.=0,m=0，有：W00=(1/4)，与 也无关，是一个球对称分布。,例2.=1,m=1时，W1,1()=(3/8)sin2。在=/2时，有最大值。在=0 沿极轴方向（z向）W1,1=0。,例

19、3.=1,m=0 时，W1,0()=3/4 cos2。正好与例2相反，在=0时，最大；在=/2时，等于零。,m=-2,m=+2,m=+1,m=-1,m=0,=2,（三）类氢离子,以上结果对于类氢离子（He+,Li+,Be+等）也都适用，只要把核电荷+e 换成 Ze，换成相应的折合质即可。类氢离子的能级公式为：,即所谓 Pickering 线系的理论解释。,（1）原子中的电流密度,电子在原子内部运动形成了电流，其电流密度,1.由于 nlm 的径向波函数 Rnl(r)和与 有关的函数部分 Plm(cos)都是实函数，所以代入上式后必然有：,（四）原子中的电流和磁矩,2.绕 z 轴的环电流密度 j

20、是上式电流密度的 o 向分量：,最后得：,（2）轨道磁矩,则总磁矩（沿 z 轴方向）是：,j 是绕 z 轴的旋转对称的,通过截面 d 的电流元对磁矩的贡献是,圆面积 S=(rsin)2,波函数 已归一,几点讨论：,1.由上式可以看出，磁矩与 m 有关，这就是把 m 称为磁量子数的理由。,2.对 s 态，(=0)，磁矩 MZ=0，这是由于电流为零的缘故。,3.由上面的 MZ 表达式,m 是轨道角动量的 z 分量。上式比值称为回转磁比值（轨道回转磁比），或称为 g 因子。取(e/2)为单位，则 g=-1。,算符 表示,ML 的角标表示是 轨道角动量磁矩,由于原子极轴方向（即z方向）是任意选取的，所

21、以上式也 可以表示为：,（一）厄密算符本征函数的正交性（二）实例,3.5 厄密算符的本征值与本征函数,返回,一.厄密算符的本征函数的正交性,定理一:厄密算符的本征值一定是实数.定理二:厄密算符的属于不同本征值的本征函数一定正交.,2.两个重要的定理,1.若函数n 和m正交,则表示为:,证明:若厄密算符 的本征值和本征函数已知,二.厄密算符的正交归一的本征函数组,1.由定理可知，属于不同本征值的本征函数正交2.属于同一本征值的本征函数不一定正交，但它们是线性无关，所以我们一定可以把它们重新线性组合构成一组新的互相正交的本征值函数组。3.归一化本征函数属于分立谱的,其正交归一化可以表示为:本征函数

22、属于连续谱的可以表示为:结果:厄密算符的本征函数可以构成一个正交归一的函数组.,4.厄密算符的正交归一的本征函数组的例子,定义克罗内克符号：,（D）氢原子的波函数,（一）力学量的可能值,（二）力学量的平均值,（1）力学量算符本征函数组成完备系（2）力学量的可能值和相应几率,3.6 算符与力学量的关系,（三）例 题,(1)力学量算符本征函数组成完备系,本征函数的完备性 表示力学量的算符必须是线性厄密算符，而且有完备的本征函数系。,（一）力学量算符本征函数的完备性,2.展开系数,3.归一化系数另一种表示,1.测量力学量的可能值与相应几率（基本假设）,2.波函数完全描述了体系状态,（二）力学量的测量

23、值,若体系的状态已知，则体系的可以测量的力学量的可能测得值的相应的几率就完全确定了。在这个意义上讲，波函数完全描述了体系状态。,4.一些已知力学量算符的本征函数组,3.力学量有确定值的条件推论：当体系处于(x)态时，测量力学量F具有确定值的充要条件是(x)必须是算符 F的一个本征态。,1.一般平均值公式,（四）力学量的平均值,2.量子力学中力学量平均值定义,3.平均值公式,证明:,如果波函数未归一化,则可以用下面的公式.,(五)连续谱,(六)分立谱和连续谱同时存在,例题1 粒子在(0,a)一维无限深势阱中运动，状态由描述。求测量粒子能量的可能得值及相应几率。,因为,例2 已知空间转子处于如下状

24、态,试问：（1）是否是 L2 的本征态？（2）是否是 Lz 的本征态？（3）求 L2 的平均值；（4）在 态中分别测量 L2 和 Lz 时得到的 可能值及其相应的几率。,解：,不是 L2 的本征态。,是 Lz 的本征态，本征值为。,（3）求 L2 的平均值,方法 I,先进行归一化：,归一化波函数,方法 II,（4）,测量的结果为:,3.7 算符的对易关系,两个力学量同时 有确定值的条件,测不准关系,（一）两力学量同时有确定值的条件（二）两算符对易的物理含义（三）力学量完全集合,（一）算符的对易关系,1.定义:为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易子或对易括号：,-

25、,2.对易子的性质：,=-,2),=03),C=0 C是任意常数4),+=,+,5),=,+,6),+,+,=0 上面的第六式称为 Jacobi 恒等式。,左边1,2,3式不证自明的我们只证第5式,3.基本对易关系,同样可以证明另外两个式，坐标和动量的其它对易关系如下,它们的证明是显然的.,坐标算符与其共轭动量不对易,但与其非共轭动量对易，各坐标之间对易,各动量之间相互对易。可以简单表示为:,注意：当 与 对易，与 对易，不能推知 与 对易与否。例如：,4.角动量算符的对易关系,证：,同理可以证明另外两式.,（二）两力学量同时有确定值的条件,体系处于任意状态（x）时，力学量 F 一般没有确定值

26、。,如果力学量 F 有确定值，（x）必为 F 的本征态，即,如果有另一个力学量 G 在 态中也有确定值，则 必也是 G 的一个本征态，即,结论：,当在 态中测量力学量 F 和 G 时，如果同时具有确定值，那么 必是 二力学量共同本征函数。,1.定理：若两个力学量算符有一组共同完备的 本征函数系，则二算符对易。,证：,由于 n 组成完备系，所以任意态函数(x)可以按其展开：,则,因为(x)是任意函数,所以,2.逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符有组成完备系的共同的本征函数。,推广到二个以上的算符,可以把上面的讨论归结为如下一个定理.,逆定理的证明从略,定理：一组力学量算符具有共同完备本征

27、函数系的充要条件是这组算符两两对易。,例 1：,例 2：,几个例子,例 3：,例 4：,（三）力学量完全集合,1.定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。,例 1：,三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：,例 2：,氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：,例 3：,一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：,（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。,（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。,（四）测不准关系,（1）引,由上节讨论表

28、明，两力学量算符对易则同时有确定值；若不对易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。,问题：,两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？,不确定度：,测量值 Fn 与平均值 的偏差的大小。,（1）测不准关系的严格推导,II 测不准关系的严格推导,设二厄密算符对易关系为：,是算符或普通数,因为,最后有：,由代数二次式理论可知，该不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：,此式就是所谓的测不准关系,均方偏差,其中：,（二）坐标和动量的测不准关系,这就是坐标和动量的测不准关系：坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，另一就越大。,（1）坐标与动量测不

29、准关系,（2）线性谐振子的零点能,振子能量,x 的奇函数,n 为实,于是：,二均方偏差不能同时为零，故 E 最小值也不能是零。为求 E 的最小值，取式中等号。,则：,零点能正是测不准关系所要求的最小能量,因均方偏差不能小于零，故取正,解得：,求极值：,（三）角动量的测不准关系,上式是对于任意波函数都必需满足的.,由于在 Lz 本征态 Ylm 中，测量力学量 Lz 有确定值，所以Lz 均方偏差必为零，即,证：,例1：利用测不准关系证明，在 Lz 本征态 Ylm 下，Lx=Ly=0,则测不准关系：,平均值的平方为非负数,欲保证不等式成立，必有：,同理：,3.8 力学量平均值随时间的变化 守恒定律,

30、守恒量 经典力学：守恒力学量不随时间而改变.量子力学:每一时刻,不是所有力学量都有确定值,一般只有确定的概率分布与平均值.本节讨论力学量随时间的演化问题和守恒力学量 的问题.,若体系的状态波函数是由薛定谔方程：,一、力学量平均值随时间的变化,最后得到,二、守恒量守恒力学量的定义若一个力学量的平均值不随时间变化,则该力学量是一个守恒力学量.换句话说若 则F是守恒力学量.,这就是力学量平均值随时间的变化,2.推论:若 F不显含t，而且F，H=0则F是守恒力学量.,即:这种力学量在任何态下的平均值不随时间改变。这样的定义与经典力学相吻合,因为宏观量可以看作是微观量的平均值.可以证明守恒力学量测量值的

31、几率分布也不随时间改娈.,关于量子体系的守恒量的几点说明,量子体系的守恒量不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。若初始时刻体系处于守恒量F的本征态，则体系将保持在这个本征态；若初始时刻体系并不处在守恒量A的本征态，以后的状态也不是A的本征态。量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。与定态区分：定态：体系的一种特殊的状态能量本征态。在定态下，一切力学量（不显含t）的平均值和测量概率分布都不随时间改变。守恒量：体系的一种特殊的力学量，与哈密顿量对易。在一切状态下的平均值和概率分布都不随时间改变。,3.守恒量的例子（1）自由粒子的动量p,（2）粒子在中心力场中运动的角动量,粒子在中心力场中运动，动量并不守恒。,不含时间 t,且都与 H 对易,所以动量 是守恒力学量.,(3)能量守恒,5.宇称,相应本征函数：,宇称算符连续作用两次波函数保持不变,一般的态不一定具有确定的宇称，任意态是奇宇称和偶宇称态的迭加态。（完备性）,宇称守恒,