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1、例1、单位反馈系统开环传递函数为,分别求取K=10及K=100时的相角裕度和增益裕度。解：相角裕度可通过对数幅频特性用图解法求出。K=10时,转折频率1=1,2=5。20lgK=20lg2=6dB。画出对数幅频特性曲线,如图所示。,40,20,20dB/dec,K,1,10,20lg,K,0.1,0,1,K,1,100,w,c,5,10,w,40dB/dec,60dB/dec,L,(,w,)/dB,由图可知:,得剪切频率。相角裕度为,当K从10变到100时,20lgK=20lg2026dB,如图中虚线所示。,所以K=100时对应的剪切频率为。,求增益裕度,则须先求出,当K=10时,相角裕度为,
2、当K=100时,第七节 闭环频率特性,由于系统的开环和闭环频率特性之间有着确定的关系，因而可以通过开环频率特性求取系统闭环频率特性。对于单位反馈系统，其闭环传递函数为,一、闭环频率特性及其特征量,对应的闭环频率特性为：,上式描述了开环频率特性和闭环频率特性之间的关系。如果已知 曲线上的一点，就可确定闭环频率特性曲线上的一点。,一般系统的闭环频率特性如图所示,图中，为频率特性的零频幅值；为频率特性的带宽频率，它是系统的幅频值为零频幅值的0.707倍时的频率，通常称为系统的频带宽度；为频率特性的谐振峰值；为频率特性的谐振频率。,系统的频带宽度反映了系统复现输入信号的能力。频带宽度越宽，暂态响应的速
3、度越快，调节时间也就越短。但是，频带宽度越宽，系统抗高频干扰的能力越低。因此，在设计系统时，对于频带宽度的确定必须兼顾到系统的响应速度和抗高频干扰的要求。,设单位反馈系统的开环传递函数为,式中：不含有积分和比例环节，且。则系统的闭环传递函数为,当 时，闭环幅频特性的零频值为,当 时，闭环幅频特性的零频值为,0型系统与型及型以上系统的零频值的差异，反映了它们跟随阶跃输入时稳态误差的不同，前者有稳态误差的存在，而后者则没有稳态误差产生。,二、闭环频域指标与时域指标的关系,1、二阶系统,典型二阶系统的闭环传递函数为,其相应的闭环频率特性为,典型二阶系统的闭环幅频特性为,其谐振频率为,（1）与 的关系
4、。,令,因为当 时，幅频值,其幅频特性峰值即谐振峰值为,由图看出，越小，越小，即系统的阻尼性能越好。如果谐振峰值较高，系统动态过程超调大，收敛慢，平稳性及快速性都差。,当 时，幅频特性单调衰减，不存在谐振峰值。,又因为，所以有,（2）与 的关系。,在带宽频率 处，典型二阶系统闭环频率特性的幅值为,解得,由可知图，随 的增加而单调增加。当 固定不变，则调整时间 与带宽频率 成反比。,调节时间 随着 增大而增大，且随 增大而减小。,式中,2、高阶系统,对于高阶系统，难以找出闭环频域指标和时间指标之间的确切关系。但如果高阶系统存在一对共轭复数闭环主导极点，可针对二阶系统建立的关系近似采用。,通过大量
5、的系统研究，归纳出以下两个近似的数学关系式，即,高阶系统的 随着 的增大而增大。,开环对数频率特性与时域指标,开环对数幅频特性“三频段”概念,低频段,低频段通常指开环对数幅频特性在第一个转折频率以前的区段，低频段的斜率由开环传递函数中积分环节的数目 决定，而高度则由系统的开环放大倍数 来决定。,系统的稳态误差 与 有关。因此，根据开环对数幅频特性的低频段可确定系统的稳态误差。,中频段,中频段是指开环对数幅频特性曲线在截止频率 附近（零分贝附近）的区段。中频段集中反映了闭环系统动态响应的平稳性和快速性。,低频段的斜率越小，对应系统开环传递函数中积分环节的数目越多，则在闭环系统稳定的条件下，其稳态
6、误差越小，动态响应的的跟踪精度越高。而且，在阶跃信号输入下使 的条件是低频段必须具有负斜率。,反映中频段形状的三个参数为截止频率，中频段的斜率和中频段的宽度。下面对开环对数幅频特性曲线 中频段的斜率和宽度分两种情况进行分析。,（1）中频段斜率为-20，且占据的频率区域较宽,则系统的相频特性为,相角裕度为,可见，中频段越宽，即 比 大的越多，则系统的相角裕度 越大，即系统的平稳性越好。,（2）中频段斜率为-40，且占据的频率区域较宽,则系统的相频特性为,相角裕度为,可见，中频段越宽，即 比 大的越多，则系统的相角裕度 越接近于0，系统将处于临界稳定状态，动态响应持续振荡。,高频段指开环对数幅频特
7、性在中频段后的频段。由于这部分特性是由系统中一些时间常数很小的环节决定的，因此高频段的形状主要影响时域响应的起始段。因为高频段远离截止频率，所以对系统的动态特性影响不大。,中频段斜率更陡，则闭环系统将难以稳定。因此为使系统稳定，且有足够的稳定裕度，一般希望截止频率 位于开环对数幅频特性斜率为-20的线段上，且中频段要有足够的宽度；或位于开环对数幅频特性斜率为-40的线段上，但中频段较窄。在上述情况下，尽量增大截止频率，提高动态响应的快速性。,高频段,从系统抗干扰能力来看，高频段开环幅值一般较低，即，则。故对单位反馈系统有,显然，在高频时闭环幅频特性近似等于开环幅频特性。因此，开环对数幅频特性
8、在高频段的幅值，直接反映了系统对高频干扰信号的抑制能力。高频部分的幅值越低，系统的抗干扰能力越强。,由以上分析可知，为使系统满足一定的稳态和动态要求，对开环对数幅频特性的形状有如下要求：低频段要有一定的高度和斜率；中频段的斜率最好为-20，且具有足够的宽度，应尽量大；高频段采用迅速衰减的特性，以抑制不必要的高频干扰。,本章小结,（1）频率特性是线性定常系统在正弦函数作用下，稳态输出与输入之比和频率之间的函数关系。频率特性是系统的一种数学模型，它既反映出系统的静态性能，又反映出系统的动态性能。,（2）频率特性是传递函数的一种特殊形式。将系统传递函数中的复数 换成纯虚数，即可得出系统的频率特性。,
9、（3）频率特性法是一种图解分析法，用频率法研究和分析控制系统时，可免去许多复杂而困难的数学运算。对于难以用解析方法求得频率特性的曲线的系统，可以改用试验方法测得其频率特性，这是频率法的突出优点之一。,（4）频率特性图因其采用的坐标系不同而分为极坐标图、波特图、尼科尔斯图等几种形式。各种形式之间是相互联系的，而每种形式却有其特定的适用场合。,（5）奈奎斯特稳定判据是用频率法分析和设计控制系统的基础。利用奈奎斯特稳定判据，可用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。同时，可用相角裕度和幅值裕度来反映系统的相对稳定性。,（6）开环对数频率特性曲线（Bode图）是控制工程设计的重要工具。开环对数幅频特性 低频段的斜率表征了系统的型别，其高度则表征了系统开环放大倍数的大小；中频段的斜率、宽度以及截止频率 则表征着系统的动态性能；而高频段表征了系统的抗高频干扰能力。利用三频段概念可以分析系统时域响应的动态和稳态性能，并可分析系统参数对系统性能的影响。,（7）对于最小相位系统，幅频和相频特性之间存在唯一的对应关系，即根据对数幅频特性可以唯一地确定相频特性和传递函数，而对于非最小相位系统则不然。,
