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1、,多元微积分,隐函数的微分法,第六节,与一元函数的情形类似,多元函数也有隐函数.,时,相应地总有满足,该方程的唯一的 z 值存在,则称该方,程在 内确定隐函数,注意,隐函数不一定都能显化.,隐函数(二元)的概念,在 内确定隐函数,方程的唯一的 u 值存在,则称该方程,将概念推广到一般情形,一.一元函数的,隐函数的求导法,利用多元函数的偏导数求 一元函数的隐函数导数的公式,两边关于 x 求导,得,从而得到一元隐函数求导公式,解,故,多元隐函数 的导数,一个方程确定 的隐函数,方程组确定 的隐函数,二.由一个方程确定,的隐函数的求导法,定理,(隐函数存在定理),设,1.,2.,3.,确定一个函数,
2、且,隐函数存在的条件,隐函数存在定理只是告诉我们在一定的条件下隐函数存在、唯一、可导,但没有告诉我们求隐函数偏导数的方法.怎么求隐函数的导数呢?,由隐函数存在定理的条件及多元函数求导方法,因为,故,.,对方程 F(x,y,z)=0 两边关于 x,y 求偏导,得,公式,解,故,解,故,解,故,请同学们运用点函数,将上面的隐函数 存在定理推广至一般的 n 元函数情形.,定理,(隐函数存在定理),2.,3.,且,求导公式？,定理,(隐函数存在定理),2.,3.,且,求导公式,三.由方程组确定的 隐函数的求导法,为了将一个方程确定的隐函数的求 导方法推广至由方程组确定的隐函数的 情形,我们首先要介绍雅
3、可比行列式.,雅可比行列式,雅可比行列式记号,当所出现的函数均有一阶连续偏导时,雅可比行列式有以下两个常用的性质：,1.,问 题 1,设,确定函数,求,想想,怎么做？,想想,怎么做？,方程组,方程组中每个方程两边关于 x 求导：,移项,得,运用克莱满法则解此二元一次方程组,当,时,方程组有唯一解：,.,我们实际上已找到了求方程组确定的隐函数的偏导数的公式(之一).,问 题 2,设,确定函数,求,方程组,想想,怎么做？,想想,怎么做？,想想,怎么做？,利用问题 1 的结论,你可能已经知道应该怎么做了.,分别将 x 或 y 看成常数,依葫芦画瓢哦！,问 题 2,想想,怎么做？,请自己动手做,问 题 2,问 题 2,将 y 看成常数,问 题 2,将 y 看成常数,问 题 2,将 y 看成常数,问 题 2,将 x 看成常数,问 题 2,将 x 看成常数,问 题 2,将 x 看成常数,求,解,令,则,同理可得,在实际求解时,我们往往按照前面分析的过程,对方程组中的每一个方程两边关于某一个变量求导,然后解关于相应的偏导数的代数方程组.,更一般的情形.,问题 1 和问题 2,的方法可以推广到,定理,2.,3.,内唯一确定一组函数,且,(隐函数存在定理),注 意!,关于隐函数求导,关键在于理解建立公式的过程,而不是死记求导公式.,
