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1、微 积 分,(calculus),数学是科学的大门和钥匙.,培根,2,集 合(set),小结 思考题 作业,函 数(function),1.1 集合与函数,第1章 函 数,第1章 函 数,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该,一、集合,集合,元素,(简称元),(集),元素(element).,集合的,通常以大写字母,等表示集合,以小写字母,等表示集合的元素.,否则记,记作,或,若a是A的元素,则说a属于A,空集.,不含任何元素的集合称为,1.集合(set)的概念,3,4,集合分类,有限集,无限集,只含有限个元素;,不是有限集的集合.,列举法,表示集合方法有两种,描述法,把集
2、合的全部元素一一列出来,例,考察由下列元素 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,可以用列举法将其表示成,列举法有很大的局限性.,组成的集合A,外加花括号.,5,如:,由不超过1010的奇数组成的集合,其元素有50亿个,要把它们全部写出来,且有很多集合,其元素是,很多纸张!,根本无法一一罗列出来.,得用,很多时间,不可数的,更常用的是列出规定这个集合特定性质P,就是,描述法.,花括号中竖线前的x,而竖线后,是 M 中元素的通用符号,则是 x 所具有的性质.,的办法来表示集合,可用列举法表示为,的根组成的集合,也可用描述法表示为,例,由方程,6,2.区间(interval),区间是指介于某两个
3、实数之间的全体实数.,称为,称为,这两个实数叫做区间的端点.,开区间,闭区间,7,称为,有限区间,无限区间,半开半闭区间.,全体实数的集合R 也可记作,是无限区间.,8,3.邻域(neighborhood),数集,即,邻域,记作,几何表示,9,有时简记为,去心(空心),即,点a的,称为a的,称为a的,10,4.逻辑符号,在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号,“”,表示“任取”,或“任意给定”.,“”,表示,或“能够找到”.,如 实数的阿基米德(Archmed)公理是这样,任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个,自然数n,用逻辑符号,将阿基米德公理改写:,Any(每一个)或All(所有的)的字
4、头A的倒写,Exist(存在)的 字头E的倒写,练习,叙述的:,“存在”,“至少存在一个”,11,1.常量(constant quantity)与变量(variable),二、函数(function),而是相对“过程”而言的.,常量;,变量.,在某过程中数值保持不变的量称为,而在过程中数值变化的量称为,一个量是常量还是变量,不是绝对的,常量与变量的表示方法:,通常用字母 a,b,c等表示常量,用字母 x,y,t,等表示变量.,12,初等数学,变量的数学,“常量的数学”,从现在开始,进入,就其总体来说是,微积分.,13,定义,设有两个变量x和y,自变量,因变量,定义域(domain),记作,变量
5、y的取值的集合称为函数的值域(range),即,变量x的变域为D,如果对于D中的每一个x值,按照一定的法则,变,量y总有唯一的数值与之对应,则称变量y为变量,x的函数(function),2.函数概念,14,(1),函数的记号:,除常用的f 外,可任意选取,如,相应地,函数可记作:,等,等,也可记作:,在同一个问题中,讨论到几个不同的函数时,则必须用不同的记号分别表示这些函数,以示区别.,15,(2),对应的函数值y总是唯一的,否则称为,如,是多值函数,它的两个单值支是:,单值函数,多值函数.,约定:,今后无特别说明时,函数是指单值函数.,这种函数称为,(3),构成函数的,是两个不同的函数.,
6、(因为定义域不同).,如,定义域Df与对应法则 f.,两个要素:,16,函数的表示法只与定义域和对应法则有关,即,简称函数表示法的,(4),而与用什么字母无关,无关特性.,17,定义域一般有两种:,(1),自变量所能取的使算式有意义的一切,定义区间.,由问题的实际意义所确定.,(2),函数的定义域常用区间来表示,又可称为:,实际问题(几何或物理问题);,在纯数学的研究中(函数由一个公式,实数组成的集合,这种定义域称为,自然定义域.,表示的).,18,例,求下列函数的定义域:,解,定义域是,定义域是,19,常用的函数关系表示法是多种多样的.,公式法(解析法);,主要有三种形式,表格法.,各种表示
7、法,都有其优点和不足.,图形法;,公式法(解析法),图形法,表格法,今后以公式法为主,便于进行理论分析和计算;,形象直观,富有启发性,便于记忆;,便于查找函数值,但它常常是不完全的.,也可用语言描述.,配合使用图形法和表格法.,需特别指出的是,公式法不一定仅用一个公式表示,函数.,20,例,某商店对一种商品的售价规定如下:购买量,有些函数,分段函数.,称为,函数关系也不同,除了可用一个数学式子表示函数外,随着自变量取不同的值,这种函数,不超过5千克时,每千克0.8元;购买量大于5千克而不,超过10千克时,若购买 x 千克的费用记为 f(x),则,购买量大于10千克时,超过10千克部分每千克0.
8、4,元,元;,在自然科学、工程技术和经济学中,经常会遇到分段函数的情形.,其中超过5千克部分优惠价每千克0.6,21,用分段函数表示函数,分段函数在其整个定义域上是一个函数,答案:,即,而不是几个函数!,3.,练习,并画出,其图形.,22,几个今后常引用的函数,绝对值函数,例,定义域,值域,23,符号函数(克罗内克函数),定义域,值域,对,例,有,或,克罗内克Kronecker L.1823 1891,德国数学家,24,取整函数,如,例,阶梯曲线,定义域,值域,表示不超过 x 的最大整数,W=整数.,25,例,狄利克雷(Dirichlet)函数,(x为有理函数),(x为无理函数),定义域,值域
9、,由于有理数和无理数在实数集中稠密,因此只能画出它的象征性的图像.,有理数点,无理数点,26,有界性(bounded),设函数y=f(x)在区间I上有定义,则说 f(x)在区间I上有上 界.,(下),使得对所有,若存在,常数A,都有,(B),3.函数的几种特性,27,若存在常数,使得对所有,则称 f(x)在I上有界.,在 I上无界;,都有,若这样的M 不存在,则称 f(x),即为对于任何,总存在,使,则称 f(x),在 I上无界.,有界,无界,28,在定义域上有界的函数叫做,例,是有界函数;,是无界函数,但它在区间,在区间,一定要把区间明确出来!,不是有界函数,就是无界函数.,显然,(boun
10、ded function),有界函数.,有界等同于既有上界又有下界.,有下界,有界.,若f(x)在I上有界,不是唯一的.,则它在I上的上界和下界均,29,练习,A.有上界无下界,B.有下界无上界,C.有界,D.有界且,解,C,解题提示,将函数取绝对值,然后用不等式,放缩法.,30,单调性(monotonicity),单调增加;,如果对,恒有,monotone increasing,设函数 f(x)的定义域为D,区间,则称函数 f(x)在区间I上是,31,应指明单调区间,否则会产生错误.,单调减少.,如果对,恒有,monotone decreasing,设函数 f(x)的定义域为D,区间,则称函
11、数 f(x)在区间I上是,32,奇偶性,偶函数的图形,称 f(x)为,偶函数(even function);,设D关于原点对称,33,奇函数的图形,称f(x)为,奇函数(odd function).,设D关于原点对称,34,周期性(periodicity),的周期.,周期函数(period function).,如果存在一个,正数l,且总有,l 称为f(x),通常称周期函数的周期是指,最小正周期.,周期为 l 的周期函数,设函数 f(x)的定义域为D,则称f(x)是,35,4.生成新函数的几种运算,设函数 f(x),g(x)的定义域分别为D1,D2,则可定义这两个函数的下列运算,和(差),积,
12、商,且,线性组合,为实数,而生成新的函数:,36,5.反函数与复合函数,设函数 y=f(x)的值域为W,则称变量x为变量y的函数,记为,(1),定义,反函数(inverse function),如果对于W,中任一 y值,从关系式 y=f(x)中可确定唯一的一个,称为函数y=f(x)的反函数,习惯上 y=f(x)的,反函数记为,x值,37,求反函数的步骤,求函数的反函数 y=f-1(x).,(1)把x从方程 y=f(x)中解出;,(2)把刚才所得的表达式中的x与y对换,即得所,注意,(1)y=f(x)的图形与其反函数 x=f-1(y)的图形,y=f(x)的图形与其反函数 y=f-1(x)的图形关
13、,直线,对称.,(2)只有一一对应的函数才有反函数.,重合;,于,存在反函数吗?,问:,y,x,38,直接函数与反函数的图形,直线,对称.,关于,39,如,其反函数为,指数函数,定义域为,值域为,写成,并不是所有函数都存在反函数.,如,函数,定义域为,值域为,但对,都有两个,和,与之对应,x不是y 的函数,不存在反函数.,并称为对数函数.,40,4.反函数与复合函数,(2),复合函数(compound function),设某企业经营者每年收入S 与该年利润L有关,得到,把,构成的复合函数.,例,其函数关系为,而利润L则与该企业产品的产量Q有关,其关系为,称为由,41,定义,设函数 y=f(u
14、)的定义域为Df,而函数,若,则称函数,u=g(x)的值域为Wg,y=f g(x)为 x 的复合函数.,x为自变量,u为中间变量,y为因变量.,也可记作:,42,(1)并非任何两个函数都能复合成为复合函数;,(2)复合函数可以由两个以上的函数经过复合,因为,不能构成复合函数.,的定义域Df 是,(3)反过来,一个复杂的函数根据需要也可以,分解为若干简单函数的复合.,的值域Wg是,构成.,43,复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数),由函数的最外层运算一层层剥到最,里边,切不可漏层.,如,u,v 都是中间变量.,复合函数的定义域是,即,而不是,的定义域,剥皮法,44,1)幂函数(power
15、function),定义域与 的取值有关.,5.初等函数(elementary function),(basic elementary function),(1)基本初等函数,45,2)指数函数(exponential function),定义域为,值域为,46,3)对数函数(logarithm function),定义域为,值域为,47,4)三角函数(trigonometric function),正弦函数,定义域为,值域为,48,余弦函数,定义域为,值域为,49,正切函数,余切函数,定义域,值域,定义域,值域,50,5)反三角函数(inverse trigonometric functio
16、n),定义域,值域,主值,反正弦函数,但是,可以选取这些函数的,单值支.,51,定义域,值域,主值,反余弦函数,52,主值,定义域,值域,反正切函数,反余切函数,主值,定义域,值域,幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,53,(2)初等函数(elementary function),初等函数.,如,都是初等函数.,不是初等函数.,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算,(加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构,成并可用一个式子表示的函数,称为,54,一般分段函数不叫初等函数,想一想,可看作分段函数,是否又可看作是初等函数?,答:,故又可看作是初等函数.,是!
17、,由于,它不是用一个式子表达出来的.,因为,55,奇函数.,偶函数.,1)双曲函数,叠加法,(3)双曲函数与反双曲函数,双曲正弦,双曲余弦,56,奇函数,有界函数,双曲正切,双曲余切,57,双曲函数常用公式,58,2)反双曲函数,奇函数,可得,反双曲正弦,的反函数,单调增加.,59,反双曲余弦,单调增加.,60,奇函数,反双曲正切,单调增加.,61,三、小结,复合函数,初等函数.,函数,函数的几种特性,反函数,有界性,单调性,奇偶性,周期性.,集合,集合概念,区间,邻域.,函数的定义,定义域对应法则,函数的两要素,62,思考题,考研数学一,5分,及其定义域.,解题思路,此题是复合函数问题,可设,从题目条件分析u和x的关系.,解,令,则,于是,63,作 业,习题1.1(11页),
