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1、非线性动力学,姚宝恒上海交通大学船舶海洋与建工学院,Beyond Perturbation,Introduction to Homotopy Analysis Method,Outline,Concept of Homotopy in TopologyBasic ideas of Homotopy Analysis methodExamplesApplications of the theory in solving nonlinear equations Conclusions References,“摄动方法”的本质：应用方程中的小（大）物理参数，将一个非线性问题转化为无穷多个线性子问题。
2、优点：物理意义明确；简单、易懂；缺点:(1)依赖小参数,当所研究问题不含小参 数时使得摄动展开法面临困难(2)摄动展开解只在参数比较小的情况下能够给出较好的近似,随着“小参数”的增大,近似解精度下降,以致失效。(3)无法确保解的收敛,怎样的近似解析方法才是最理想的？不依赖小参数确保解的收敛性，适用于强非线性问题,拓扑学中的几个基本概念,拓扑和拓扑空间 如果对一个非空集合X给予适当的结构，使之能引入微积分中的极限和连续的概念，这样的结构就称为拓扑。具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。引入拓扑结构的方法有多种，如邻域系、开集系、闭集系、闭包系、内部系等不同方法。,同伦的基本概念,两个拓扑空间如果可以通
3、过一系列连续的形变从一个变到另一个，那么就称这两个拓扑空间同伦。,同伦的定义 设X和Y都是拓扑空间，f和g是X到Y的连续映 射，即 f：XY，g：XY，如果存在连续映射H：XY（这里=0,1），使得对任何xX，满足：则称f和g 是同伦的,称H是由f到g的一个同伦或伦移,即,H(x,0)=f(x)，H(x,1)=g(x)，,同伦是关于映射的等价关系,f（x）=H（x,0）,g（x）=H（x,1）,H（x,q）,示意图,二、“同伦分析方法”简述,拓扑理论传统的同伦概念：其中，q为嵌入变量.易知，q=0时，H(x;0)=f(x);q=1时，H(x;1)=g(x).因此，当嵌入变量q从0增加到1时，函
4、数H(x,q)从f(x)连续变化到g(x).这样，H(x,t)建立起从f(x)到和g(x)之间的联系.在拓扑(topology)理论中，这种连续的变化称为同伦(homotopy)，表示为,Liao提出“广义同伦”之概念：,Basic ideas of HAM,E1.非线性代数方程 f(x)=0.(构造同伦)设 为已知的初始猜测解,嵌入变量 为一未知的嵌入变量 的函数,我们构造如下的一个单参数的非线性代数方程:(1)当 时,上述方程为线性方程 即,当 时,方程(1)变为,则,就是原非线性方程f(x)=0的解.,因此,当嵌入变量 从0变化到1时,从初始猜测解 变化到非线性代数方程解,因此方程(1)
5、构造了一个 的同伦.,设 存在无穷阶导数,根据Taylor定理,有,则,如何求?,(2),将(1)式对p求一阶导数,(3),令 得,则,将(3)式对p再求一次导数,(4),(5),令 得,(6),类似地，可以求得k阶变形导数，则,一阶近似公式为,（时为牛顿迭代公式）,E2.非线性微分方程,where is a nonlinear operator,denotes independent variable,is an unknown function,respectively.,(1)Construct zero-order deformation equation,Where 0,1 is t
6、he embedding parameter,is a nonzero auxiliary parameter,is an auxiliary function,is an auxiliary linear operator,is an initial guess of,is a unknown function,respectively.,(7),Obviously,when p=0 and p=1,it holds,Thus as increases from 0 to 1,the solution varies from the initial guess to the solution
7、.,Expanding in Taylor series with respect to,one has,where,(8),If the auxiliary linear operator,the initial guess,the auxiliary parameter,and the auxiliary function are so properly chosen,the series(8)converges at,one has,which must be one of solutions of original nonlinear equation.,As and,Eq(7)bec
8、omes,(9),which is used mostly in the homotopy analysis method.,(2)Construct mth-order deformation equation,Differentiating Eq.(7)m times with respect to the embedding parameter p and then setting p=0 and finally dividing them by m!,we have the so-called m th-order deformation equation,Define the vec
9、tor,线性方程,(10),？,？,It should be emphasized that for m 1 is governed by the linear equation(10)with the linear boundary conditions that come from original problem,which can be easily solved by symbolic computation software such as Maple and Mathematica.,E3.非线性微分方程求解,According to the governing equation
10、 and the initial condition(11),the solution can be expressed by a set of base functions,(11),in the form,where is a coefficient to be determined，This provides us with the so-called rule of solution expression,i.e.,the solution of(11)must be expressed in the same form as(12)and the other expressions
11、such as must be avoided.,(12),According to(11)and(12),we choose the linear operator,with the property,Where is constant.,From(11),we define a nonlinear operator,According to(11)and the rule of solution expression(12),it is straightforward that the initial approximation should be in the form,(1)Const
12、ruct zero-order deformation equation,Thus as increases from 0 to 1,the solution varies from the initial guess to the solution.,(2)Construct mth-order deformation equation,最后得到,rule of coefficient ergodicity，H（）=1,得到一族解，通过 调节级数收敛,二、“同伦分析方法”简述,“同伦分析方法”特点毋须任何小参数，可将一个非线性问题转化为无穷多个线性问题！可自由选取辅助线性算子、初始近似:线性
13、子问题中的线性算子毋须与原始非线性方程中的线性算子相同或密切相关！,二、“同伦分析方法”简述,初步形成一个较为完整的理论体系（1）提出三个原则:解表达原则（Rule of solution expression）解存在原则（Rule of solution existence）完备性原则（Rule of coefficient ergodicity）指导辅助线性算子、初始近似、辅助函数之选取（2）证明了“收敛性定理”,同伦分析方法之优点,不同于摄动方法，“同伦分析方法”不依赖于小参数的存在，因而适用范围更广；不同于所有其它分析方法，“同伦分析方法”本身提供了一种简单的方法调节或控制解析解级数的
14、收敛区域；“同伦分析方法”提供选择不同基函数之自由，从而能更有效地表达非线性问题的解。,二、“同伦分析方法”简述,广泛应用（1992年-2002年）非线性波浪问题边界层流动和热传导问题非线性振动问题极限环问题圆球黏性阻力（Navier-Stokes方程）物理、生物及宇宙学方面的非线性问题证明“同伦分析方法”之有效性和潜力,(1)不依赖小参数二阶近似在整个区间 内的最大误差仅为0.48%,求解范例,同伦分析方法之优点,圆球绕流问题应用“同伦分析方法”,得到150年来与实验结果吻合得最好的圆球阻力理论公式（2002年）。应用“同伦分析方法”求解一些经典非线性难题,同伦分析方法之优点,(2)确保解的
15、收敛性 解的收敛区域可以 调节和控制,(3)有选择基函数之自由 对任何参数 我们都得到如下形式的周期解,同伦分析方法之优点,Liao,S.and Tan,Y.,“A general approach to obtain series solutions of nonlinear differential equations”,Studies in Applied Mathematics,119:1-58,2007.,非牛顿流体边界层流动,非牛顿流体边界层流动,三维非定常旋转黏性流动,三维非定常旋转黏性流动,Tan.Y and Liao,S.,ASME J.Applied Mech.74:101
16、1-1018,2007,（B）发现新解,(1)可渗透拉伸变形平板边界层流动：,（B）发现新解,应用“同伦分析方法”,找到被数值方法遗漏的一个新解!,（B）发现新解,(2)Cheng-Minkowycz 流动:,呈代数衰减的无穷多个解,应用“同伦分析方法”,Liao and Magyari(2006)找到被数值方法遗漏的、呈代数衰减的无穷多个新解！,（C）突破传统思想,（C）突破传统思想,求解非线性问题时，我们所拥有的自由，远比我们过去想象的要大得多！正面意义：提出更好的、求解非线性 问题的解析方法和数值方法许多全新的、有趣的问题有待研究和探索(请见力学进展有关综述论文),（D）海洋工程中的应用
17、,“同伦分析方法”被成功应用于研究海洋工程中的一些基础理论问题，如：非线性波浪；梁的大扰度弯曲；非线性波与非均匀流相互作用；,（D）海洋工程中的应用,（A）非线性深水行进波,（D）海洋工程中的应用,（B）具有间断性的孤立波,（D）海洋工程中的应用,（C）梁的大扰度弯曲,（D）海洋工程中的应用,（D）非线性波浪与非均匀流相互作用,（D）海洋工程中的应用,非线性波浪与非均匀流相互作用,众多成功的应用实例,证实了“同伦分析方法”求解强非线性问题的有效性;“同伦分析方法”能找到新的、甚至被数值方法忽略的解，说明了“同伦分析方法”的巨大潜力；,意义,众所周知，流体力学和海洋工程中的非线性问题特别多。“同
18、伦分析方法”的提出和完善，为流体力学和海洋工程中强非线性问题的求解提供了一个全新的、强有力的理论分析工具。,同伦分析方法应用举例：非线性水波,同伦分析方法应用举例：Riemman 问题,同伦分析方法应用举例：美式期权定价问题,机遇和挑战,机遇“同伦分析方法”抛弃了小参数假设，为强非线性问题的求解提供了一个新的思路，为一些经典非线性难题的求解提供了一种新的可能性,挑战 自然界中的非线性现象千差万别，异常复杂。提出一种普遍有效的方法极为困难。必须不断地完善和改进“同伦分析方法”，使其适用于尽可能多的强非线性问题,五、展望,进一步完善和发展同伦分析方法进一步扩大其应用范围力争攻克力学中的一些非线性难题扩大在海洋工程领域中的应用,Beyond HAM?,
