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1、1.能用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式 有关的简单问题,1二项式定理,思考探究1在(ab)n与(ba)n的展开式中，其通项相同吗？,提示：从整体上看，(ab)n与(ba)n的展开式是相同的，但具体到某一项是不同的，如第r1项Tr1 anrbr，Tr1 bnrar.,2二项式系数的性质,思考探究2 二项式系数与项的系数有什么区别吗？,提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式系数是指，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的值有关,1.的展开式中x2的系数为()A10B5 C.D
2、1,解析：含x2的项为()2 x2，x2的系数为.,答案：C,2二项式(a2b)n展开式中的第二项的系数是8，则它的 第三项的二项式系数为()A24 B18 C16 D6,解析：Tr1(2b)r，T2 an1(2b)2 an1b，2 8，n4，第三项的二项式系数为 6.,答案：D,3若(x)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的 常数项为()A10 B20 C30 D120,解析：二项式系数之和2n64，则n6，Tr1 x6r x62r，当62r0时，即r3时为常数项，T31 20.,答案：B,解析：Tr1(ax)5r(1)r，且x3的系数为80.,4若(ax1)5的展开式中x3的系数是8
3、0，则实数a的值是 _,答案：2,5若(x21)(x2)9a0a1(x1)a2(x1)2a11(x 1)11，则a1a2a11_.,解析：令x2，则有a0a1a2a11(221)(22)90，再令x1，则有a0(121)(1)2，a1a2a3a112.,答案：2,在解决二项展开式指定项或特定项的问题时，关键是公式Tr1 anrbr(0rn，rN*，nN*)的正确应用,特别警示应用二项展开式的通项公式Tr1 anrbr(r0,1,2，n)时，要注意以下几点：(1)通项公式表示的是第r1项，而不是第r项；(2)通项公式中a和b的位置不能颠倒；(3)展开式中第r1项的二项式系数 与第r1项的系数，在
4、一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式或指数的运算要细心，以防出错,已知在()n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项,思路点拨,课堂笔记(1)通项为Tr1，因为第6项为常数项，所以r5时，有 0，即n10.(2)令 2，得r(n6)(106)2，所求的系数为,(3)根据通项公式，由题意令 k(kZ)，则102r3k，即r5 k，rN，k应为偶数k可取2,0，2，即r可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为()2x2，x2.,1.对形如(axb)n、(ax2bxc)m、(a、b、cR)的式子
5、求 其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即 可；对(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之 和，只需令xy1即可2一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开 式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.,在二项式(2x3y)9展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；(4)系数绝对值的和,思路点拨,课堂笔记设(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为 29.(2)各项系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1，a0a1a2a9(23)91
6、.(3)由(2)知a0a1a2a91，令x1，y1，可得：a0a1a2a959，将两式相加，可得a0a2a4a6a8，即为所有奇数项系数之和,(4)|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a9，令x1，y1，则|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a959.,1.求二项式系数最大的项：如果n是偶数，则中间一项 的二项式系 数最大；如果n是奇数，则中间两项 的二项式系数相等且最大；,2求展开式系数最大的项，如求(abx)n(a，bR)的展开 式中系数最大的项，一般是采用待定系数法设展开 式各项系数分别为A1，A2，An1，且第r项系数最大，应用 解出r来，即得系数最大的项,已知f(x)(3
7、x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项,思路点拨,课堂笔记(1)令x1，则二项式各项系数和为f(1)(13)n4n，展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍)或2n32，n5.,由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是T3(x)3(3x2)290 x6，T4(x)2(3x2)3270 x.(2)展开式通项为Tr1 3rx(52r)假设Tr1项系数最大，则有,r，rN，r4.展开式中系数最大项为T5 x(3x
8、2)4405x.,已知(x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展开式的二项式系数和大992，求(2x)2n的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项.,解：根据二项式系数的性质，列方程求解n.系数绝对值最大问题需要列不等式组求解由题意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0.2n32，解得n5.(1)由二项式系数的性质知，(2x)10的展开式中第6项的二项式系数最大即T6(2x)5()58 064.,(2)设第r1项的系数的绝对值最大，Tr1(2x)10r()r(1)r 210rx102r，得 即 解得 r.rZ，r3，故系数的绝对值最大的是第4项，T
9、4 27x415 360 x4.,以选择题或填空题的形式考查二项展开式的通项、二项式系数、展开式的系数等知识是高考对本讲内容的常规考法.09年北京高考则以选择题的形式考查了二项式定理在求值中的应用，这是一个新的考查方向,考题印证(2009北京高考)若(1)5ab(a，b为有理数)，则ab()A45 B55C70 D80,【解析】由二项式定理得：(1)51()2()3()4()515 2020 204 4129，a41，b29，ab70.,【答案】C,自主体验 若对于任意实数x，有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，则向量m(a0，a2)与向量n(3,4)所成角的余弦值是()A0
10、B.C.D1,解析：x32(x2)3，a0238，a2 26.故m(8,6)，mn0.,答案：A,1(2009浙江高考)在二项式(x2)5的展开式中，含x4的 项的系数是()A10 B10 C5 D5,解析：Tr1 x2(5r)(x1)r(1)r x103r(r0,1，5)，由103r4得r2.含x4的项为T3，其系数为 10.,答案：B,2如果 的展开式中含有非零常数项，则正整 数n的最小值为()A10 B6 C5 D3,解析：Tr1(3x2)nr(1)r 3nr2rx2n5r，由题意知2n5r0，即n，nN*，rN，n的最小值为5.,答案：C,3(1)6(1)4的展开式中x的系数是()A4
11、 B3 C3 D4,解析：法一：化简原式(1)4(1)4(1)2(1)(1)4(1)2(1x)4(1)2(14x6x24x3x4)(12 x)故系数为143.,法二：展开式中含x的项为()()15x6x24x3x故x的系数为3.,答案：B,4二项式(2x)6的展开式的常数项是_,解析：Tr1(2x)6r()r 26r(1)rx62r，由62r0得r3，故展开式中的常数项为 23(1)3160.,答案：160,5(2010安徽师大附中模拟)a(sinxcosx)dx则二项式(a)6展开式中含x2项的系数是_,解析：a(sinxcosx)dx(sinxcosx)|(sincos)(sin0cos0
12、)(01)(01)2.又Tr1(a)6r()r a6r(1)rx a6r(1)rx3r.由3r2，得r1，x2项的系数为 a5192.,答案：192,6设(3x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4.(1)求a0a1a2a3a4；(2)求a0a2a4；(3)求a1a3；(4)求a1a2a3a4；(5)求各项二项式系数的和,解：(1)令x1，得a0a1a2a3a4(31)416.(2)令x1得a0a1a2a3a4(31)4256，而由(1)知a0a1a2a3a4(31)416，两式相加，得a0a2a4136.(3)由(2)得(a0a1a2a3a4)(a0a2a4)a1a3120.,(4)令x0得a0(01)41，得a1a2a3a4a0a1a2a3a4a016115.(5)各项二项式系数的和为 2416.,
