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1、4.4 频域稳定性判据,奈氏判据对数判据稳定性裕量,4.4.1 奈氏判据(1),奈氏稳定判据奈氏曲线逆时针包围(-1，jO)点的圈数N等于开环传递函数在右半s平面的极点数PR，则系统稳定。如果开环系统稳定，即PR=0，则闭环系统稳定的充要条件是奈氏曲线不包围(-1，j0)点，即N=0。如果N不等于0，则闭环系统不稳定。右半s平面不稳定闭环极点数ZR可由下式求出，即 ZR=PR-N 为简单起见，使用奈氏判据时，一般只画出频率从0变化到时的开环幅相频率特性曲线即可，这时奈氏判据表达式可改写为 ZR=PR-2N,4.4.1 奈氏判据(2),应用奈氏稳定判据注意事项要仔细确定开环右极点的数目PR，特别
2、注意，虚轴上的开环极点要按左极点处理。要仔细确定开环奈氏曲线围绕点(-l，j0)的圈数N。当开环传递函数含有积分环节1/s(即含有落在原点的极点)时，其开环奈氏曲线不和实轴封闭，难于说明在零附近变化时的奈氏曲线的变化，以及它们是否包围了临界点(-1，j0)，如图中实线所示。为此，可以作辅助圆(如图中虚线所示)，这就很容易看出图中曲线是否包围临界点(-1，j0)。辅助圆的作法是以无穷大为半径，从G(j0)H(j0)端实轴起顺时针补画无穷大半径90圆弧至G(0+)H(0+)。,4.4.1 奈氏判据(3),“穿越”概念确定开环奈氏曲线围绕点(-l，j0)的圈数N在频率特性曲线比较复杂时，不易清晰地看
3、出，为此引出“穿越”的概念。“穿越”，即奈氏曲线G(j)H(j)穿过点(-1，jO)左边的实轴(-1，-)。若奈氏曲线由上而下穿过点(-1，j0)左边的实轴时，称“正穿越”(相角增大)，用N+表示；若奈氏曲线由下而上穿越时，称“负穿越”(相角减小)，用N-表示。穿过点(-l，j0)左边实轴一次，则穿越数为1，若奈氏曲线始于(图5，5a)或止于(图5 5b)点(-1，jO)以左的实轴(-1，-)上，则穿越数为l/2。正穿越一次，对应着奈氏曲线G(j)H(j)绕点(-1，jO)转动+2角度；负穿越一次，对应着奈氏曲线G(j)H(j)绕点(-1，jO)转动-2角度。据此，奈氏判据可改写成：当从0变化
4、到时，若开环幅相频率特性曲线G(j)H(j)，在点(-1，j0)以左实轴上的正穿越次数减去负穿越次数等于PR/2(N+-N-=PR/2)，则闭环稳定，否则不稳定。,开环奈氏图不和实轴封闭,例题4.4,四个单位负反馈系统的开环幅相频率特性如图ad所示。并已知各系统开环不稳定特征根的个数PR，试判别各闭环系统的稳定性。解：图a、b两个系统的开环幅相特性曲线不包围(-1，j0)点，且又知两个系统的PR=0。故由奈氏判据判定(ZR=O)，图a、b系统的闭环稳定。图c系统N=-1，PR=0，ZR=PR-2N=2，故由奈氏判据可判定(ZR0)，其闭环系统不稳定。图d系统N=1，PR=2，ZR=PR-2N=
5、2-2=0，故由奈氏判据可知，闭环稳定。由此例可见，系统开环稳定，但各部件以及受控对象的参数匹配不当，很可能保证不了闭环的稳定性；而开环不稳定，只要合理地选择控制装置，完全能调试出稳定的闻环系统。,例题4.4,若系统的开环传递函数为，试用奈氏判据判别其闭环系统的稳定性。解：画出开环系统幅相频率特性图，如图所示。由图可知，N=-1。而由G(s)H(s)表达式可知，PR=0。根据奈氏判据有 ZR=PR-2N=0-2(-1)=2 所以系统不稳定。,4.4.2 对数判据(1),概念幅值穿越频率：对数幅频特性曲线L()和横轴相交的交点处的频率称为幅值穿越频率。相位穿越频率：对数相频特性曲线()和-180
6、线交点处的频率称为相位穿越频率。,4.4.2 对数判据(2),对数稳定判据对开环稳定的系统，在从0变化到+时，在L()0的区间，若相角()不穿越-180线，则系统稳定，如图所示，否则，系统不稳定。对开环不稳定的系统(PR0)，在从0变化到+时，在L()0的区间，若相频特性曲线()在-180线上正负穿越次数之差为PR/2(N+-N-=PR/2)，则系统稳定，否则系统不稳定。,例题4.5,图a所描述的系统，开环不稳定(PR=2)，在L()0时，()曲线 N+-N-=1-2=-lPR/2，故知闭环不稳定。图b所示系统，开环不稳定(PR=2)，在L()0时，()曲线 N+-N-=2-1=l=PR/2，
7、故知闭环稳定。图c所示系统，开环稳定(PR=0)，在L(m)0的区间，()曲线 N+-N-=l-1=0=PR/2，故知闭环稳定。,4.4.3 稳定性裕量(1),在设计一个控制系统时，不仅要求系统是稳定的，而且要求系统距临界点有一定的稳定性储备，即具备适当的相对稳定性。事实上线性系统的临界稳定是不存在的，非但如此，即使系统处于稳定区域的临界点附近，实际系统也可能是不稳定的，其原因在于：建立数学模型时，忽略了次要因素。列写元件运动方程时，采用了线性化的方法。系统参数如质量、惯量、阻力、放大系数、时间常数、容积模数等难于精确获得。若用实验方法建立数学模型，因仪器精度、数据处理、实验方法等方面的原因造
8、成的误差。在控制系统工作中有些参数如液体容积模数、温度等发生了变化。由此可见，使系统工作在距离临界稳定有一定程度的稳定储备是必要的，这样才能保证系统实际上的稳定性是可靠的。从奈氏判据可知，当PR=0，开环奈氏曲线离临界点(-1，j0)越远，则闭环稳定性越好，稳定储备越大，反之越差。它通过开环奈氏曲线对临界点的靠近程度来表征，定量表示为相角储备和幅值储备。,4.4.3 稳定性裕量(2),相角储备如图a所示，开环稳定的奈氏图上，奈氏曲线与单位圆的交点C与原点O的连线与负实轴的夹角称为相角储备。相角储备表明在幅值穿越频率c上，使系统达到不稳定边缘所需的附加相位滞后量。=180+(c)若0(图a、b)
9、，则系统稳定；若0(图c、d)，则系统不稳定。越小，稳定性越差，一般取=3060为宜。若过大，则系统灵敏度降低。,4.4.3 稳定性裕量(3),幅值储备Kg如图a所示，开环稳定的奈氏图上，奈氏曲线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值储备。幅值储备表明在相角穿越频率g上，使系统达到不稳定边缘所需的附加幅值量,即 以分贝表示时，若|G(j)H(j)|0dB，则系统稳定；否则Kg(dB)6dB，即Kg2。,4.4.3 稳定性裕量(4),采用稳定储备作为设计准则的注意事项稳定储备在奈氏图上，是开环奈氏曲线G(j)H(j)对临界点(-l，j0)靠近程度的度量，因此仅用相角储备或幅值储备皆不足以说明系统的相对
10、稳定性，必须两者同时给出。对开环稳定的系统而言，当G(j)H(j)曲线不包围临界点(-1，j0)，亦即其相角储备和幅值储备Kg(dB)为正值，系统稳定。对开环不稳定的系统而言，只有当G(j)H(j)曲线包围临界点(-1，j0)时系统才有可能稳定，故这类系统，若闭环稳定，其幅值储备和相角储备可能为正值，也可能为负值，这要选取离(-1，j0)点最近的储备值。对最小相位系统而言，其开环相角和幅值有一定的对应关系，要求相角储备=3060，即意味着在幅值穿越频率c处，对数幅值曲线L()的斜率应大于-40dB/dec，通常要求为-20dB/dec，如果此处斜率为-40dB/dec，则即使系统能够稳定，相角
11、储备也偏小。如果在c处的对数幅值曲线斜率降至-60dB/dec，系统就不稳定了。由此可见，一般I型系统稳定性好，型系统稳定性较差，型及其以上系统就难于稳定了。,4.4.3 稳定性裕量(5),影响系统稳定性的主要因素系统开环增益（放大系数）由奈氏判据或对数判据可知，降低系统开环增益，可增加系统的幅值储备和相角储备，从而提高系统的相对稳定性。这是提高相对稳定性的煨简便方法。积分环节由系统的相对稳定性要求可知，型系统(1个积分环节)的稳定性好，型系统稳定性较差，型以上系统就难于稳定。因此，开环系统含有积分环节的数目一般不能超过2。系统固有频率和阻尼比 在开环增益确定的条件下，系统固有频率越高、阻尼比
12、越大，则系统稳定性储备便可能越大，系统的相对稳定性会越好。延时环节和非最小相位环节延时环节和非最小相位环节会给系统带来相位滞后，从而减小相角储备，降低稳定性，因而应尽量避免延时环节或使其延时时间尽量最小，尽量避免非最小相位环节出现。,例题4.6,设控制系统的开环传递函数为，试求当k=10和k=100时的相角储备和幅值储备Kg(dB)，并判断系统的稳定性。解：根据开环传递函数的特征方程可知，该系统开环稳定（PR=0），将开环传递函数化为标准环节组成形式，即 式中开环放大系数K=k/5 当k=10时，K=2；当k=100时，K=20。作系统开环伯德图，当=1时，若K=2时，则20lgK=20lg26dB；若K=20时，则20lgK=20lg2026dB，即系统开环放大系数K变化10倍，L()上移20dB。分别作K=2、20的系统开环伯德图，如下图所示。,例题4.6,例题4.6,求系统的相角储备和幅值储备Kg(dB)（在图上量取数值，因为是几何法求取稳定性裕量，故有误差）。如图所示，当k=10时，系统的相角储备=21，幅值储备Kg(dB)=8dB，因此该系统虽然稳定，但偏小，故系统的相对稳定性较差。从图b可见，当k增至l00时，系统的=-30，Kg(dB)=-12dB，即稳定储备皆为负值。对开环稳定的系统而言，此时闭环系统不稳定。,
