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1、第七章 频域稳定性（教材第9章）,7-1 s-平面上的围线映射7-2 Nyquist稳定性判据7-3 相对稳定性与Nyquist判据7-4 频率域性能指标,第十六讲：相对稳定性与频率域性能指标（7-3，7-4单元，2学时）,7-3 相对稳定性与Nyquist判据7-4 频率域性能指标,相对稳定性的概念还未曾专门讨论，但在时域分析中已经介绍过相关现象。通俗地讲，就是在稳定系统中，研究那个系统更稳定。,在稳定的二阶欠阻尼系统中，那个指标参数表示了相对稳定性？,在根轨迹图中，又该如何刻画相对稳定性？,因此，相对稳定性的参照系是临界稳定。,配置的闭环极点与虚轴的水平距离，同样是,衰减系数,7-3 相对
2、稳定性,于是，最小相位系统临界稳定时，G(jw)曲线过(-1,j0)点，在该点处：同时成立,-1,1,0,j,一、临界稳定的频率域表现,注意：最小相位系统稳定的充要条件是开环频率特性不包围(-1,j0)点。如果正好穿过这个点，则系统处在临界稳定状态。,定义：最小相位系统是在右半平面没有开环零点的系统，此时有p=0。,若系统的开环幅相曲线如图：,若a点沿着单位圆顺时针转过r角，则 同时成立。,若b点沿着负实轴向左移动到(-1,j0)点，则 同时成立。,二、稳定裕度的定义,频率域内，稳定系统有2条途径滑向临界稳定，因此，有2个稳定裕度指标。,1、相角交界（穿越）频率cp和增益裕度Kg,相角交界频率
3、cp满足：,增益裕度,应该有：,否则，最小相角系统不稳定。,Bode图上的增益裕度,2、幅值交界（剪切）频率cm和相角裕度m,幅值交界频率cm满足：,相角裕度,应该有：,否则，最小相角系统不稳定。,Bode图上的相角裕度,例7.1 单位负反馈系统的开环传递函数为,试确定系统开环增益K=5和K=20时的相角裕度和幅值裕度。,注意：先求剪切频率（0dB）和穿越频率（-180）,40db,0.1,1,10,20db,惯性环节的稳定裕度,20db,0.2,2,20,0db,-20db,-90,-45,幅值交点频率？,相角裕度？,增益裕度?,40db,10,20db,100,0db,-20db,-180
4、,-90,不是转折频率!,1,-40db,振荡环节的稳定裕度,幅值交点频率？,相角裕度？,增益裕度?,一、闭环系统频率域性能指标 稳定裕度是闭环系统的性能指标，但却是利用开环频率特性来定义的。除此之外，频率域内，还有下述常用的，直接利用闭环频率特性来定义的系统频率域性能指标。1、系统带宽 系统带宽度量了闭环系统具有或保持一定的信号复现能力的频率范围。以低频段有有限直流增益的系统为例，其带宽定义为幅值增益下降3dB时的对应频率。,7-4 频率域性能指标,记 为系统闭环频率特性曲线，,则有：当 时，,例如，对一阶系统，按定义应该满足：,可求得带宽为，系统具有低通特性。,又例如，典型二阶系统：,由带
5、宽定义得：,于是有：,可见，二阶系统的带宽和自然频率成正比，与阻尼比 成递减关系。于是系统的单位阶跃响应的速度与带宽成递增关系。幸运的是，对于任意阶次的系统，这一关系仍然成立。这提示我们，可以在闭环系统的频率域指标与时间域指标之间建立起一定的关系。,希望：在频率域方法和时间域方法之间建立直接、准确的联系。,难,在欠阻尼二阶系统中，我们能做到这一点，但在一般情况下，只能求助于经验公式。,2、谐振峰值 和谐振频率 谐振峰值是指闭环系统幅频响应的最大幅值，出现该最大值的对应频率就称为谐振峰值。,对欠阻尼二阶系统而言，其幅频特性曲线，在 时，会在需要修正的中频段出现一个尖峰，可以求得，该峰值为：,谐振
6、频率为：,关系曲线见教材,对欠阻尼二阶系统而言，其剪切（幅值交界）频率、相角裕度等，也都能准确求出，建立起与时域参数 和 的关系，如：,3、高阶系统指标间的经验公式,4、闭环系统频率特性 由开环频率特性看闭环性能的一条通用途径是，获得闭环频率特性，再从中直接获得闭环系统的频域或时域性能指标。获取闭环频率特性：,H(s)一般为常数，这里以单位反馈为例。,记,整理得如下等M圆,时，等M圆在直线 的左侧，时，等M圆在直线 右侧，当 时，等M圆变成了直线。考察开环频率响应曲线与各个等M圆的交点，在对应的频率点上，可以得到系统的闭环幅值特性近似曲线。,闭环系统的相角为：,整理得如下等N圆,与等M圆方法类
7、似，利用等N圆，我们又可以得到系统的闭环相频特性曲线。注意：用图解法去逐点绘制闭环频率特性是很繁琐的，现在Matlab有专门的绘制工具，提高了绘图的效率和精度。,时延环节,7-5 时延环节的频率响应（补充知识）,时延环节,时延环节,其传递函数为：,其频率特性为：,据此，可以容易地画出它的Bode图。,习题P8.8,E9.1,E9.6,E9.8,E9.15,E9.17 E9.22,E9.28,P9.5,P9.24,MP9.1,MP9.2,9.3相对稳定性与Nyquist判据,例：由开环频率特性估计闭环P.O：,R(s),+,-,E(s),Y(s),9.5 磁盘驱动器控制系统,R(s),Y(s),+,-,E(s),由开环频率特性估计闭环时域性能,课上练习,1.设单位反馈系统的开环传递函数为 试确定使相角裕量等于45时的a值。,2.已知系统的特征方程式为试用奈奎斯特稳定性判据确定使系统稳定的k值。,
