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1、,新的一年新的开始，愿同学们新的一年里学习进步！,微 积 分,学好微积分下的要求,1）抽空阅读上册单变量函数微积分学部分基础知识；,2）认真听讲和完成作业。将知识传授给你们是我的责任，能否领悟要靠你们的努力！,微分方程解法（续）,一、什么是微分方程？,凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,微分方程,常微分方程：未知函数为一元函数,偏微分方程：未知函数为多元函数,是偏微分方程。,二、常见一阶常微分方程解法,1、可分离变量的微分方程,解法：分离变量然后求不定积分,例 求解微分方程,解,分离变量后得到,两端不定积分,2、齐次方程,解法：做变量替换后化为可分离变量方程求解,代入方程得到,例 求
2、解微分方程,解,微分方程的解为,3、一阶线性方程,一阶线性微分方程的标准形式:,方程的通解为：,解,例1,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,4、伯努利方程,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,解法：两边同除以 后化为一阶线性方程求解。,例 求微分方程的通解,解,所求通解为,5、可降阶的高阶微分方程,解法：,（1）,（2）型,（不显含变量 y）,解法,（3）,解法：,代入方程得,解,代入原方程得,例 4,4.4 高阶线性微分方程,一、线性微分方程的解的结构二、二阶常系数齐次方程的解法,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程。,二阶线性非齐次微分方程；,n阶线性微分方程,一、线
3、性微分方程的解的结构,1.二阶齐次方程解的结构:,问题:,（自己思考证明）,例如,线性无关,线性相关,特别地:,例如,（自己证明）,2.二阶非齐次线性方程的解的结构:,同学们可以自己证明,定理4 设 y1与y2是二阶非齐次方程,的两个解，则 y1-y2是对应齐次方程,的解.,自己证明,解的叠加原理,自己思考容易证明,二、二阶常系数齐次方程的解法,定义：,n阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,将其代入上方程,得,故有,特征根,特征方程法,特征方程,（1）有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,（2）有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,（3）有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,结论,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,例3 求下列微分方程的通解,特征方程为,三、n阶常系数齐次线性方程解法,给出2k项,给出k项,给出二项,（2）一对单复根,给出一项 Cerx,（1）单实根r,通解中的对应项,特征方程的根,特征根为,故所求通解为,解,特征方程为,例4,二重复根,例5 求微分方程,例6 求微分方程,解 其特征方程为,二重复根,
