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1、1,主讲教师:王升瑞,高等数学,第十七讲,2,二、几个初等函数的麦克劳林公式,第八节,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用,应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,泰勒(Taylor)公式,第二章,3,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式:,需要解决的问题,如何提高精度?,如何估计误差?,x 的一次多项式,若,是非多项式函数，问是否可用一个n次多项式,来近似表示,4,由,误差,即为一次多项式,的高阶无穷小,试问,是否成立？即是否求出,特例：,5,即,为抛物线与,更为接近,问,类似方法可得,右边的多项式在0的附近可以无限的接近于,如何用高次多项式来近似表示已给
2、函数，并给出误差,公式呢?,6,1.求 n 次近似多项式,要求:,故,令,则,7,2.余项估计,令,(称为余项),则有,8,9,公式 称为 的 n 阶泰勒公式.,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项.,泰勒中值定理:,阶的导数,时,有,其中,则当,10,公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.,在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为,注意到,*可以证明:,式成立,11,特例:,(1)当 n=0 时,泰勒公式变为,(2)当 n=1 时,泰勒公式变为,给出拉格朗日中值定理,可见,误差,12,称为麦克劳林（Maclaurin）公式.,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式
3、成立的区间上,由此得近似公式,13,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,14,其中,15,泰勒多项式逼近,16,泰勒多项式逼近,17,五、小结,18,五、小结,19,五、小结,20,五、小结,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,类似可得,其中,38,其中,39,已知,其中,类似可得,40,1.利用泰勒公式求极限,例1 计算,解:,原式,三、泰勒公式的应用,41,例2 求,解：,用函数的麦克劳林展开式求此极限,42,解:,由于,用洛必塔法则不方便!,例3.求,43,例4 设,求,解,44,2.利用泰勒公式证明不等式,例4.证明,
4、证:,45,例5 设当,，有,证明,在,时，至少有一个实根。,在,处展开成一阶泰勒公式,因此,，根据连续函数零点,而,此,使得,的一个实根。,证明 将,定理可知，至少存在一点,为,2.利用泰勒公式证明方程根的存在性,46,内容小结,1.泰勒公式,其中余项,当,时为麦克劳林公式.,47,2.常用函数的麦克劳林公式(P139 P140),3.泰勒公式的应用,(1)近似计算,(3)其他应用,求极限,证明不等式 等.,(2)利用多项式逼近函数,48,作业,P141 1（2）;3；4;5;6；7,49,泰勒(1685 1731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一,重要著作有:,正的和反
5、的增量方法(1715),线性透视论(1719),他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式.,他是有限差分理论的奠基人.,50,麦克劳林(1698 1746),英国数学家,著作有:,流数论(1742),有机几何学(1720),代数论(1742),在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的,麦克劳林级数.,51,4、设,，且,，证明,证明 由已知极限式得,利用泰勒公式有,从而,52,6.设函数,在,上三阶可导,且,设,使,证:因,因,因此,试证存在,利用二阶泰勒公式,得,53,7.设函数,在,上二阶可导,且,证明方程,内有且仅有一根.,证:在,在,上,由泰勒公式可知,因,所以,又因,利用,的单调性及连续函数零点,定理,可知,在,内有且仅有一根.,
