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1、,第七节,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,主要内容:,一、弧微分,二、曲率及其计算公式,三、曲率圆与曲率半径,平面曲线的曲率,第三章,一、弧微分,设,在(a,b)内有连续导数,其图形为 AB,弧长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则弧长微分公式为,或,几何意义:,若曲线由参数方程表示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲率及其计算公式,在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为,对应切线,定义,弧段 上的平均曲率,点 M 处的曲率,注意:直线上任意点处的曲率为 0!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,转角为,例1.求半径为R 的
2、圆上任意点处的曲率.,解:如图所示,可见:R 愈小,则K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害;,R 愈大,则K 愈小,圆弧弯曲得愈小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率K 的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,(1)若曲线由参数方程,给出,则,(2)若曲线方程为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,处的曲率.,点击图片任意处播放暂停,说明:,铁路转弯时为保证行车,平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且 l R.,其中R是圆弧弯道的半
3、径,l 是缓和曲线的长度,离心力必须,连续变化,因此铁道的,曲率应连续变化.,例2.我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,且 l R.,处的曲率.,其中R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,显然,例3.求椭圆,在何处曲率最大?,解:,故曲率为,K 最大,最小,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求驻点:,设,从而 K 取最大值.,这说明椭圆在点,处曲率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算驻点处的函数值:,最大.,三、曲率圆与曲率半径,设 M 为曲线 C 上任一点,在点,在曲线,把以 D 为中心,R 为半径的圆叫做曲线在
4、点 M 处的,曲率圆,(密切圆),R 叫做曲率半径,D 叫做,曲率中心.,在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:,(1)有公切线;,(2)凹向一致;,(3)曲率相同.,M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设曲线方程为,且,求曲线上点M 处的,曲率半径及曲率中心,设点M 处的曲率圆方程为,故曲率半径公式为,满足方程组,的坐标公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由此可得曲率中心公式,当点 M(x,y)沿曲线,移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线,相应的曲率中心,曲率中心公式可看成渐,曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线.,机动 目录
5、 上页 下页 返回 结束,屈线的参数方程(参数为x).,点击图中任意点动画开始或暂停,例4.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨,削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?,解:设椭圆方程为,由例3可知,椭圆在,处曲率最大,即曲率半径最小,且为,显然,砂轮半径不超过,时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.,例3 目录 上页 下页 返回 结束,(仍为摆线),例5.求摆线,的渐屈线方程.,解:,代入曲率中心公式,得,摆线 目录 上页 下页 返回 结束,摆线,半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点动画开始或暂停,其上定点 M,的轨迹即为摆线.,参数的几何意义,摆线的渐屈线,点击图中任意点动画开始或暂停,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.弧长微分,或,2.曲率公式,3.曲率圆,曲率半径,曲率中心,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?,答:有公切线;,凹向一致;,曲率相同.,2.求双曲线,的曲率半径 R,并分析何处 R 最小?,解:,则,利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,第八节 目录 上页 下页 返回 结束,P175 4；5；7；8；9,
