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1、高等数学基础微积分,第二篇 第二章 定积分,定积分的概念、N-L公式,本章难点：换元积分法和分部积分法,本章重点：,一、定积分的概念和性质,（一）定积分的定义,1、定义,(P-263),2、定积分的几何意义,问题：定积分 与 不定积分 有什么区别？,（2）定积分 是一个确定的数值。,（1）不定积分 表示的全体原函数；（无穷多个函数）,下面我们的目标就是找出计算定积分的方法。,（二）牛顿莱布尼茨公式（N-L公式）,因此，要求一个函数的定积分，方法为：,第一步，求这个函数的一个原函数F(x)（要用到求不定积分的方法）；,第二步，计算原函数在端点处的值之差 F(b)F(a).,第三步，,关键：求原函
2、数F(x),并且选取哪个原函数都可以。,例1：,解：,由N-L公式有：,（二）变上限积分,1、定义：在定积分中，固定下限，让上限变化，得到变上限的定积分，它是关于x的一个函数。记为：,由NL公式：,人们发现：这个函数恰好是被积函数的一个原函数。,实际上，我们可以推导出上面的结论。,这正说明了变上限积分是被积函数 f(x)的一个原函数。,例2：,解：,又因为变上限积分就是被积函数的一个原函数,2、关于定积分的几个性质：,用来处理分段函数,【例3】P269 练习2.1 题3（3）,【解】,（三）定积分的求法,我们的目标：求出初等函数的定积分。,实际上，求定积分的计算方法与不定积分的计算方法一致，只
3、不过多了一个求函数值的步骤罢了。所以，我们可以借助不定积分的基本计算方法，去探求定积分的特点以简化定积分的计算。,类似不定积分的运算可考虑定积分计算的三个方面：,一、基本初等函数的定积分；,二、定积分与四则运算的关系；,三、定积分与复合运算的关系。,对于一，已有基本的积分公式和NL公式；,对于二，有定积分的性质15；,对于三，有换元积分法和分部积分法。,第一换元法（凑微分法）的步骤：,1、换元积分法,【例4】,【解】,由不定积分的凑微分法可知,于是,【例4】,【解】,(P-273)练习2.2 题1（7）,【例5】,解：,(P-273)练习2.2 题1（2）,【解】,06春考题,用“第一换元法”
4、,2、分部积分法,与不定积分的积分公式类似有：,幂函数乘以三角函数时，先找三角函数 的原函数；,幂函数乘以指数函数时，先找指数函数 的原函数；,幂函数乘以对数函数时，先找幂函数的 原函数。,注：找原函数的意思就是写成导数的形式。,【解】,解：,课本P-274，题2，（1）（4）,（1）,【解】,（3）,解：,（4）,【解】,（四）广义积分,前面讨论的定积分，积分区间都是有限区间a,b.问：能否让区间扩大变成无限的呢？,人们引进了新概念：无穷限的广义积分，记号为：,类似地：,我们的目标：计算一些函数的广义积分的值。,先计算定积分值，再取极限。,例9：,解：,即广义积分收敛，其值为2。,例10：,解：,即广义积分收敛，其值为,例11：,解：,即广义积分收敛，其值为1。,所以，计算广义积分，主要包含两种运算。第一，先计算定积分；第二，再计算极限。,经过证明，我们可以得到下面的结论,类型1：,当 p 1 时，积分收敛；否则发散。,类型2：,同样当 p 1 时，积分收敛；否则发散。,类型3：,当 k 0 时，积分收敛；否则发散。,例11：,解：,移项后，整理可得：,即广义积分收敛，其值为,
