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1、专题11极点极线与定值定点第一钎极点极线原理介绍极点极线显威力运用高观点例析圆锥曲线中的完全四点形问题如图1,设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点EG，连接尸G交于N,连接EG,FH交于M,则直线MN为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点，则过户点的切线即为极线.由图1同理可知，PM为点N对应的极线，FN为点M所对应的极线.因而将MN尸称为自极三点形.任意一点对应的极线为另外两点的连线.设直线MN交圆锥曲线于点AB两点，则PAPB恰为圆锥曲线的两条切线.图I只有“站得高”，遇到问题才能够从容面对.解析几何一直是学生乃至部分中学数学老师所害怕的内容，如果能从高等数学的
2、视角去看待这些问题，有时候处理起来将会变得非常容易.极点、极线是高等几何中的内容，但在中学里会经常涉及.统一结论：已知圆锥曲线：Ax2+By2+Dx-Ey+F=O,则点以如儿）对应的极线方程为：抬尸+为，0），+。土分+石%产+尸=0.以椭圆为例，我们来证明一下极点极线的结论如图M是椭圆+=1外一点，过P作两条直线分别与椭圆交于A,B和C,D两点.a，b2N是AD与CD的交点，证明N点在直线学+笔=I上M接下来我们推广到更一般的形式，设数和皿交于点乂，类似的方法我们也可以证明学+紫二I从而NGN，%）一定在直线安+誓=1上，那么点N和M均在直线卑+*=1上，随着ABa）四点的ab-ab-运动，
3、所有的点N和M的轨迹就构成了直线卑+*=1,即点M对应的极线为警+*=1,同样的a-Zrab以点N为研究对象，可以得出其对应的极线是两点的连线所在的直线，同样的以点M为研究对象，可以得出其对应的极线是MN两点的连线所在的直线M除此之外，极点极线还有如下结论，M是椭圆外一点，N是M对应的极线上位于椭圆内的任一点，连接MN交椭圆于EF两点，则. xn =X =Xp且篝=琮现证明如下ME = NE MFNF设M是椭圆二+=1外一点，MA,MB均与椭圆相切，O为椭圆的中心，直线MC）与AB交于点N,交crb椭圆于E,F.贝IjxmXN=xE=xF此结论还可以用定比点差法来证明，参见定比点差法那一节第二
4、用应用极点极线的解决定值定点2【例9】（武汉模拟）已知A,8分别为双曲线=2-21=1实轴的左右两个端点，过双曲线的左焦点产3作直线PQ交双曲线于尸，。两点（点P,Q异于A,B）,则直线AP,5Q的斜率之比ZAPMgQ=（）123A.-B.-3C.-D.-332【例10己知椭圆C：工+反=1的左、右顶点分别为A,B,过X轴上点M（Y,0）作一直线PQ与椭42圆交于尸，Q两点（异于A,8）,若直线AP和BQ的交点为N,记直线MN和AP的斜率分别为勺，右，则人：玲=（）A.-B.3C.-D.232【例II】（沙坪坝期中）设A,B分别是双曲线V工=1的左右顶点，设过p（L,。的直线R4,PB与双32
5、曲线分别交于点M，N,直线MN交X轴于点Q,过Q的直线交双曲线的于S,T两点,且SQ=2QT,则ABST的面积（）A.35B.-7C.-15D.-1648222【例12(济南二模)已知椭圆C:+二=l(bO)的左、右焦点分别为月、居，N(OLI)为椭圆的一ab个顶点，且右焦点F2到双曲线Y一9=2渐近线的距离为应.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线/:y=依+以左0)与椭圆。交于A、B两点.若附，仍为邻边的平行四边形为菱形，求机的取值范围；若直线/过定点P(l,1),且线段AB上存在点T,满足也=四1,证明：点7在定直线上.ATTB【例13】(2013江西)椭圆C:+W=l(a%0)的离心率e
6、=W,a+b3.crb2(1)求椭圆。的方程；(2)如图，A,B,。是椭圆C的顶点，尸是椭圆C上除顶点外的任意点，直线。尸交大轴于点N直线4)交Bp于点设族的斜率为女，MN的斜率为小，证明为-4为定值.【例14】(湖北十一校联考)己知直线y=x-2与抛物线V=2px相交于A,B两点,满足OA_LQ8.定点C(4,2),0(-4,O),M是抛物线上一动点，设直线CM,OM与抛物线的另一个交点分别是瓦F.(1)求抛物线的方程；(2)求证：当M点在抛物线上变动时(只要点后、尸存在且不重合)，直线E尸恒过一个定点；并求出这个定点的坐标.第三稀非典型极点极线解决定值定点(平行情况)圆锥曲线上四点构成的四
7、边形ABCQ为梯形时，如图，ADJIBC,无法构成自极三角形，则点尸对应的极线过AC,8。所在直线的交点，且极线与AD平行.(设AC,交于M,可以认为直线和BC的交于无限远处的一点N,按照极点极线模型可知MN为点对应的极线,则MN与AC,8。的交点都在无限远处，即以MN/IADfIBC)这种情况我们称之为非典型极点极线.推论1：四线平行模型：设AC,BD交于点”，则M点对应的极线为一条经过P点的直线，并且与AC,BD都平行(图中未画出),且与P点对应的极线也平行.设M(xq,%3则M点对应极线方程为螺+浑=1,a-Ir其斜率为一空，故砥O=MlC=(双曲线中心O=XK=，抛物线中&O=勺C=K
8、),这三个和中aJoy0aJo%点弦的斜率形式一模一样，非常好记.推论2:特别地，如右图若AO8Cy轴，由对称性知4C,8。的交点Q在X轴上，则点P(XP,0)的极线过点0,且与轴平行,结合上一节中的结论2,有“OQ=OR2=/.(我们把这个模型称之为/模型)，由对称性可知此时ABcQ为等腰梯形，则ABC。四点共圆，由圆的曲线系可知此时怎c+&即=0(证明过程参见圆的曲线系那一节).22【例【5】(桃城月考)已知椭圆:=+与=l(h0)内有一定点尸(1,1),过点P的两条直线乙，/,分别a-b-与椭圆交于A、C和3、。两点，且满足AP=2PC,3P=IPQ,若；I变化时，直线CO的斜率总为-,
9、，4则椭圆的离心率为()3Rl五n5A.B.C.D.2225【例16(泉州模拟)已知双曲线氏W-W=I3,60),斜率为的直线与E的左右两支分别交于A,BaZr8两点，点P的坐标为(-1,2),直线AP交七于另一点C,直线B尸交E于另一点D.若直线CO的斜率为-1，8则后的离心率为()6R3r5n5AB-CD一2222Y【例17(湖北省预赛题)设P(X0,%)为椭圆一+)2=1内一定点(不在坐标轴上)，过点P的两条直线4-分别与椭圆交于点A、。和8、D,且AB%D.(1)证明：直线AB的斜率为定值；(2)过点P作AB的平行线，与椭圆交于E、尸两点，证明：点P平分线段E、F.【例18】已知抛物线
10、V=2*(0),斜率为Z(ZwO)的动直线/与抛物线交于两点A、B,抛物线内的定点尸(Xo,K)为直线/外一点，若直线AP、B尸分别与抛物线交于另一点C、。，问直线A。、BC是否相k交于定点？若是，求出定点坐标：若不是，说明理由.很多考题的命题背景是极点极线，熟练使用极点极线的结论，解题方向会更加清晰.【例19】已知抛物线V=2px(p(),过点(2,0)作直线与抛物线交于两点，若两点纵坐标之积为-8.(1)求抛物线的方程；(2)斜率为1的直线不经过点P(2,2)且与抛物线交于A、B.求直线/在y轴上截距b的取值范围；若AP、8尸分别与抛物线交于另一点C、D,证明：AD.BC交于一定点M.【例
11、20】已知抛物线E：Y=2py(po)的焦点尸，4(2,%)是E上一点，且IA用=2.(1)求E的方程：(2)设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y=x-3交于点P,过点P作X轴的垂线交E于点Mt证明：直线8M过定点.通过这道题我们可以总结出在抛物线中如何快速找到平面上某点对应的极线的快速做法，对于平面内任一点A（A不在抛物线上），过A作一条与抛物线对称轴平行的直线/,交抛物线于点B,延长AB至C,使得BC=AB,过C点作一条平行线4与过B点的切线平行，则，为点A关于抛物线对应的极线整套系列资料分17讲见：最新版圆锥曲线专题17之1基础知识最新版圆锥曲线专题17之2焦长焦比体系最新版圆锥
12、曲线专题17之3轨迹方程求法最新版圆锥曲线专题17之4三角形相关性质最新版圆锥曲线专题17之5四边形相关性质最新版圆锥曲线专题17之6圆锥曲线与圆综合最新版圆锥曲线专题17之7抛物线的综合问题最新版圆锥曲线专题17之8齐次化问题最新版圆锥曲线专题17之9曲线系方程最新版圆锥曲线专题17之10切线与切点弦的应用最新版圆锥曲线专题17之11极点极线与定点定值最新版圆锥曲线专题17之12阿基米德三角形最新版圆锥曲线专题17之13定比点差体系最新版圆锥曲线专题17之14不联立体系第一讲一单动点问题最新版圆锥曲线专题17之15不联立体系第二讲一双动点问题最新版圆锥曲线专题17之16不联立体系第三讲一三点共线问题最新版圆锥曲线专题17之17不联立体系第四讲一设点与比例问题
