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1、专题7宗远功长抛物线综合问题无结论，不圆锥，可以看出二级结论在圆锥中是多么重要，而抛物线正是这一观点集中体现，接下来我们将从垂直和定值定点两方面来说明二级结论的重要性.第一稀抛物线中的垂直问题抛物线中与垂直有关的有以下结论1.如果抛物线丁二2px弦AB过抛物线的焦点尸（,0）,那么以AB为直径的圆与准线相切，设切点为尸则：（1）PAPB（2） PFAB且有以下更进一步的结论：设AB两点在准线上的射影分别为和与，则以线段Aq为直径的圆与AB相切，切点为产（3） PAB的面积的最小值为P?.此时AB垂直于X轴（4）过A点和3点分别作抛物线的切线交于点O,则AZ）人且O在抛物线的准线上，反之过准线上
2、任一点做抛物线的两条切线，则两切点的连线经过焦点（这种情况下开口朝上的抛物线X2=2Py考试出现得更多）2 .若？AoB则弦AB必过定点（2p,0）【例1】（鼓楼模拟）过抛物线C:丁=2p（p0）的焦点F的直线与抛物线C交于A,B两点,且AF=3网，直线AB与C的准线/交于点O,AAA/于A，若的。的面积等于8JI，则P二（）3 c5A.-B.2C.-D.422【例2】（山西期中）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点尸在X轴上，其准线为/,过尸的直线交抛物线于M,N两点，作MrS人/,NT八I,垂足分别为S，T.若MF=3FN,且AST户的面积为与叵，则抛3物线C的方程为（）A.）/=?XB.y
3、2=?2xC.y2=?3xD.=74x【例3】（黄冈期中）已知点MG1，2）和抛物线C/=4%,过C的焦点且斜率为左的直线与C交于A,B两点，若？AMB90?，则A=（）A.1B.2C.3D.4【例4】（贵阳二模）抛物线y2=2px（p0）的焦点为，已知点A,8为抛物线上的两个动点，且满足IMNl?AFB90?.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MV,垂足为N,则丁工的最大值为（）IABlA.B.C.1D.G22第二饼定值定点问题过抛物线焦点弦的几何性质重要结论1. IAFI=BBF=-R.1 -cosa1+cos2. AB=xi+x2+p=.sinaP23SMoB-.2sm44设二则cos=
4、W=-.、a、u,AFBF5.设AB交准线于点?，则丁豆7=cos:=cos.I/AI/恒抛物线中其他定值定点结论：1 .对于抛物线y2=2px上两点AB,经过焦点/，则XA4=?，=-P20A?OBP2f推广到更一般的形式,若AB经过点（zn,0）则XAX&=/,yAyB=-2pm.2 .若直线/与抛物线V=2px交于M、N两点，P（X0，%）为抛物线C上一点，且PM人PN,则直线/必过定点（2p+%,-y0）.特别地，当尸点位于抛物线顶点（0,0）时，直线/必过定点（2，0）.3 .过定点七（山，0）的直线/与抛物线丁二2彳交于A,B两点、,与直线X=交于M点，若MA=/fE,MB=LBE
5、,则/+/,=_竺S.m【例1】（长沙模拟）已知抛物线Uf=4），的焦点为F,A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线/交y轴的正半轴于点8,且4,4同在一个以尸为圆心的圆上，另有直线/勿，且悭与抛物线C相切于点O,则直线AD经过的定点的坐标是（）A.（0,1）B.（0,2）C.（1,0）D.（2,0）【例2】（湖北月考）已知F为抛物线J=X的焦点，点a、B在该抛物线上且位于工轴的两侧，而且OA?OB2（。为坐标原点），若AABO与ZAFO的面积分别为Sl和S2-则，+4S?最小值是（）7万A.B.6C.23D.432【例3】（遂宁期末）设尸为抛物线k=8x的焦点，A、B、C为该抛物
6、线上不同的三点，且FA+FB+FC=O,O为坐标原点，若4QOFB.ZXOfC的面积分别为S、S2.S3,贝”；+S；+S；=()A.36B.48C.54D.64【例4】(湖南长沙高三模拟题)已知点M(-5,0)、C(1,O),MB=2BC.尸是平面上一动点，且满足IPCI?IBClPB?CB.求点P的轨迹C的方程；已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦4)、AE,且4)、AE的斜率人、心满足kjk22.试推断：动直线Z)E是否过定点，证明你的结论.【例5】(渝中区月考)设直线/与抛物线J=4%相交于A,8两点，与圆5)2+/2=/“0)相切于点加，且同为线段AB的中点，若这样的
7、直线/恰有2条，则r的取值范围是()A.(0,2B.(0,5)C.(2,4)D.(0,2)E(4,5)本题用到了结论：AB是抛物线y?=2px的一条弦,弦中点为C(Xo,%),贝的=%【例6】如图，已知点尸(1,0),直线Lx=-I,尸为平面上的动点，过点P作/的垂线，垂足为点Q,且QP?QFFP?FQ.求动点P的轨迹C的方程；过点尸的直线交轨迹C于A、B两点,交直线/于点M,且MA=A,MB=I2BF,求力+八的值.推广到更一般的结论，就是本节最开始的结论三：过定点E(m,0)的直线/与抛物线J=2px交于A,B两点，与直线X=交于M点，若MA=/E,MB=LBE,则L+%=-竺in【例7】
8、(香坊区期中)已知抛物线V=4x的焦点为尸，过点P(4,0)的直线交抛物线A(%,y1),Bx2,y2)两点，直线4/，所分别与抛物线交于M,N点，记直线MN的斜率为直线A8的斜率为区，则区二k?()A.1B.2C.3D.4【例8】过点夙帆，0)作直线4，4与抛物线丁=2庶相交，其中4与抛物线相交于M,P两点，4与抛物线相交于。，N两点，MN过焦点、F,若MN,。的斜率勺，N满足2=f,求证：=k2m2第三稀抛物线的最值问题抛物线里的最值多与焦点准线相关，还经常用到数形结合和函数的值域求法，一般都要代数和几何相结合，用的方法较综合而全面.【例1】(汉中二模)直线/过抛物线丁二4工的焦点尸且与抛
9、物线交于A,B两点,若线段A/，8斤的长分别为m,n则4z+的最小值是()A.10B.9C.8D.7【例2】(重庆期末)设O为坐标原点，?是以尸为焦点的抛物线V=2px(p0)上任意一点.M是线段依上的点，FP=5FM.则直线OM的斜率的最大值为()c TD.【例3】（三明期末）已知抛物线yz=4x的焦点为尸，过尸的直线与抛物线交于A,8,点M在线段AB上,点C在。W的延长线上，且C=2OM.则ZXABC面积的最小值为（）C. 8D. 10A.4B.6第四书与抛物线中点弦有关的性质【例1】（苏锡常镇二模）如图,在平面直角坐标系XOy中,已知抛物线U=4x的焦点为。准线为/,过点F且斜率大于0的
10、直线交抛物线。于AB两点,过线段AB的中点/且与X轴平行的直线依次交直线OA,OB,l于点P,Q,N.判断线段PM与NQ长度的大小关系,并证明你的结论.此模型的结论还有很多：（1）过点P作AB平行的直线，与抛物线交于C,。两点，则此时有尸C=PD（2）过点R作AB平行的直线，则此直线为抛物线在点R处的切线；（3）NA,NB均为抛物线的切线，过直线NM上（抛物线外部）任意一点作抛物线的切线,切点弦的中点均在NM上，且互相平行.【例2】在平面直角坐标系XOy中，已知抛物线C:f=4y,直线/与抛物线C交于A8两点,过AB分别作抛物线的切线，两切线的交点尸在直线），=1-5上.若A3=2A尸，求点尸
11、的坐标.事实上作?Py轴，由切点弦的性质知PP平分48,我们先来证明这一结论：关于抛物线中点弦的轨迹也是高考常考题（2016全国三卷考过大题，见本书习题部分）现在也和大家介绍一下：%一0= P-1 %设抛物线V=2px有一条过点（1,0）的弦与抛物线交于AB两点，求AB中点M的轨迹方程.解：设A（X,yj,8（w，、2），则女AB=*近=一且“2一%必+凹Xvf化简整理有yj=（x,w1）并且当X=X2时，也满足上述方程，故中点M轨迹为V=（工一1）若过的定点坐标为（几7）,按上述过程推导，则中点轨迹为y2-6y=px-p【例3】在平面直角坐标系X。），中,已知抛物线左丁2=20%（0）和点（
12、3,4）点2在上，且3OQ=GoH.求E的方程；若过点作两条直线hJ4与E相交于AB两点，4与E相交于CO两点,线段AB,C。中点的连线的斜率为3直线A8,CD,A。,BC的斜率分别为%,右，&证明:1=一k3 k2 k为定值.整套系列资料分17讲见：最新版圆锥曲线专题17之1基础知识最新版圆锥曲线专题17之2焦长焦比体系最新版圆锥曲线专题17之3轨迹方程求法最新版圆锥曲线专题17之4三角形相关性质最新版圆锥曲线专题17之5四边形相关性质最新版圆锥曲线专题17之6圆锥曲线与圆综合最新版圆锥曲线专题17之7抛物线的综合问题最新版圆锥曲线专题17之8齐次化问题最新版圆锥曲线专题17之9曲线系方程最新版圆锥曲线专题17之10切线与切点弦的应用最新版圆锥曲线专题17之11极点极线与定点定值最新版圆锥曲线专题17之12阿基米德三角形最新版圆锥曲线专题17之13定比点差体系最新版圆锥曲线专题17之14不联立体系第一讲一单动点问题最新版圆锥曲线专题17之15不联立体系第二讲一双动点问题最新版圆锥曲线专题17之16不联立体系第三讲一三点共线问题最新版圆锥曲线专题17之17不联立体系第四讲一设点与比例问题
