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1、第四章 特征值和特征向量、矩阵的相似对角化,第一节 特征值与特征向量,一 特征值与特征向量的概念,二 特征值和特征向量的求法,第一节 特征值与特征向量,三 特征值和特征向量的性质,一、特征值与特征向量的概念,定义,若,则称为的特征值，,称为的特征向量,（）,注,并不一定唯一；,阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组,特征向量，特征值问题只针对与方阵；,有非零解的值，即满足,的都是方阵的特征值,定义,称以为未知数的一元次方程,为的特征方程,定义,称以为变量的一元次多项式,为的特征多项式,定理,设阶方阵的特征值为,则,证明,当是的特征值时，的特征多项,式可分解为,令,得,即,证明,因为行列式,它的展
2、开式中，主对角线上元素的乘积,是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至,多含个主对角线上的元素，,含的项只能在主对角线上元素的乘积项中,故有,比较，有,因此，特征多项式中,定义,方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的迹.,记为,二、特征值和特征向量的性质,推论,阶方阵可逆的个特征值全不为零.,若数为可逆阵的的特征值，,特别,单位阵的一个特征值为,三、应用举例,、若为可逆阵的特征值，则,的一个特征值为（）,、证阶方阵的满足，则的特征值为,或,、三阶方阵的三个特征值为、，则,（）,、求下列方阵的特征值与特征向量,四、特征向量的性质,定理,互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。,定理,互不
3、相等的特征值对应的各自线性无关的特征,向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。,定理,若阶矩阵的任重特征值,对应的线性无,关的特征向量的个数不超过,一 相似矩阵的定义、性质,二 矩阵可相似对角化的条件,三 应用举例,第二节 矩阵相似对角化,一、定义,定义,设、都是阶矩阵，若有可逆矩阵，,使得,则称是的相似矩阵，或者说矩阵,与相似,称为对进行相似变换，,对进行运算,可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵,记作：,二、性质,（1）反身性：,（2）对称性：,（3）传递性：,；,，则；,，则；,（4），则,（5），则,（6），且可逆，则,定理,若阶矩阵与相似，则与有相同的特征多项式，从而与有相同的特征值,推
4、论,若阶矩阵与对角矩阵,相似，,则,若有可逆矩阵使,（8），则的多项式,特别,这样可以方便地计算的多项式,（7），则,若能寻得相似变换矩阵使,对阶方阵，,称之为把方阵对角化,三、相似对角化,定理的推论说明，如果阶矩阵与对角矩阵相,似，,则的主对角线上的元素就是的全部特征值,设存在可逆，,使得,有,于是有,因为可逆，,故,关的特征向量。,反之，,即,设,可逆，且,则,若有个线性无关的特征向量,所以,即与对角矩阵相似,定理,阶矩阵能与对角矩阵相似,有阶线性无关的特征向量,推论,如果阶矩阵有个不同的特征值，则矩阵,注意,的顺序一致,（1）,可相似对角化,（2）,因此也是不唯一的,（3）,所以如果不计
5、,的排列顺序，,推论,若阶矩阵可相似对角化的任重特征值,对应个线性无关的特征向量,例题：,3.实对称矩阵的相似对角化,1.n元实向量的内积、施密特正交化方法、正交矩阵,2.实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,第三节实对称矩阵的相似对角化,一、内积的定义与性质,1、定义,设维实向量,称实数,为向量与的内积，记作,注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有,、性质,（1）对称性：,（2）线性性：,（3）正定性：,当且仅当,时,推广性质：,、长度的概念,二、向量的长度与夹角,令,为维向量,的长度（模或范数）.,特别,长度为的向量称为单位向量.,（1）正定性：,（2）齐次性：,（3）三角不等式：,、
6、性质,（4）柯西施瓦兹（CauchySchwarz）不等式:,当且仅当与的线性相关时，等号成立.,注,当,时，,由非零向量得到单位向量,是的单位向量.,称为把单位化或标准化.,的过程,、夹角,设与为维空间的两个非零向量，与的夹,角的余弦为,因此与的夹角为,例,解,练习,三、正交向量组及其求法,1、正交,注,若，则与任何向量都正交.,对于非零向量与，,2、正交组,若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则,这个向量组称为正交向量组，简称正交组.,3、标准正交组,由单位向量组成的正交组称为标准正交组.,定理,4、性质,正交向量组必为线性无关组.,定理,若向量与,与,中每个向量都正交，则,的任一线
7、性组合也正交.,5、正交基,若正交向量组,则称,为向量空间上的一个正交基.,为向量空间上的一个基，,6、标准正交基,若标准正交组,则称,为向量空间上的一个标准正交基.,为向量空间上的一个基，,7、施密特（Schmidt）正交化法,设,是向量空间的一个基，要求向量空,间的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单,位向量,，使,与,等价，,此问题称为把,这组基标准正交化.,1）正交化,令,就得到的一个标准正交向量组.,的一组标准正交基.,如果,上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.,2）标准化,令,是的一组基，则,就是,注,上述方法中的两个向量组对任意的,与,都是等价的.,四、应用举例,
8、例1,的充要条件是正交.,解,所以,成立的充要条件是,即正交.,已知三维向量空间中，,例2,正交，,解,设,则,即,例4,解,设非零向量 都于正交，,即满足方程,或,其基础解系为,令,1）正交化,令,2）标准化,令,五、正交矩阵和正交变换,1、定义,如果阶矩阵满足：,则称为正交矩阵.,则,可表示为,若按列分块表示为,亦即,其中,的列向量是标准正交组.,的一个标准正交基.,正交矩阵的个列（行）向量构成向量空间,2、正交矩阵的充要条件,的行向量是标准正交组.,注,3、正交变换,若为正交矩阵，则=线性变换称为正交变换.,设=为正交变换，则有,经正交变换后向量的长度保持不变,内积保持不变,注,从而夹角
9、保持不变.,判断下列矩阵是否为正交矩阵.,定理对称矩阵的特征值为实数.,说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵,定理对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交.,定理若阶对称阵的任重特征值对应的线性,无关的特征向量恰有个（不证）,定理若为阶对称阵，则必有正交矩阵，使得,六、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：,2.,1.,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,例设矩阵,求一个正交矩阵P，使得,为对角阵。,例设三阶对称矩阵A的特征值为1,2,3;矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别为,（1）A的属于特征值3的特征向量。（2）求矩阵A。,
