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1、,第2章 力系的合成,引 言,根据力的作用线是否共面可分为：,平面力系空间力系,每一类又可以分为四种：,汇交力系力偶系任意力系平行力系,1.合成的几何法(即力多边形法则),2.1 平面汇交力系的合成,结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。,FR=F1+F2+Fn=Fi,2.力的投影,力在坐标轴上的投影,力的投影是代数量，当力与轴之间的夹角为锐角时，其值为正，当夹角为钝角时，其值为负。,反之，已知力的投影，也可以求力的大小和方向,3.合力投影定理,表述：合力在某轴上的投影，等于各个分力在同一轴上投影的代数和。,由图可知,故有,同理,反之，
2、已知Xi，Yi，可以求合力的大小和方向,合力大小,合力方向,4.合成的解析法(根据合力投影定理),根据合力投影定理：,合力大小,合力方向,（2）解析法,合力作用线通过汇交点O,合力FR与x轴的夹角为：,规定F与h的乘积作为力F使扳手绕支点O转动的效应的度量，称为力F对O点之矩，用符号M0(F)表示，即,若力F使物体绕 O点逆时针转动,力矩为正;反之为负。,注意：在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小和转向，所以，力矩是一个代数量。,2.2 平面力偶系的合成,1.力对点之矩,练习：计算下面各图中力F对O点的矩,2.力偶与力偶矩,力偶两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。,力偶臂力
3、偶的两力之间的垂直距离。,力偶的作用面力偶所在的平面。,力偶矩,3.平面力偶的性质,（1）力偶不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡。力和力偶是静力学的两个基本要素。,同平面两个力偶的等效条件：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相同(大小相等，转向相同)，则两力偶彼此等效。(通过动画来演示证明过程),因此：(a)只要保持力偶矩的大小和转向不变，力偶可以在作用面内任意移转，不改变对刚体的作用效果。,(b)只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用效果。,问：作用在AC杆上的力偶M能否移动到BC杆上去？,？,分析：不能。力偶只能在同一刚体上的同
4、一个平面内移动。因为三角架不是一个刚体，所以不能。,4.平面力偶系的合成,因为力偶是代数量，所以合力偶矩是各个分力偶矩的代数和,负号表示合力偶矩的转向为顺时针方向,1.力的平移定理,M=F.d=MB(F),可以把作用于刚体上点A的力F平行移到同一刚体上的任意点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。,2-3 平面任意力系向一点简化,问：能否将力F从D点移动到E点并附加力偶。,分析：不能。力的移动只能在同一个刚体上；因为刚架不是一个刚体，所以力F不能从D点平移到E点，即使是加附加力偶也不行。,问：已知力F和力偶M，两者可以合成为一个力，请问该力应该在A点的左侧
5、还是右侧?,分析：左边。合力应该在刚体上A点的左侧。但是和原来的力F平行且距离为d，,2.平面任意力系向作用面内一点的简化 主矢和主矩,FR=F1+F2+F3=F1+F2+F3,主矢,平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个力偶的矩等于力系对于点O的主矩。,主矢与主矩的计算（对于具有几个力的一般情况）,主矩,3.固定端支座,既不能移动，又不能转动的约束,固定端（插入端）约束:,4.简化结果分析 合力矩定理,1.平面任意力系简化为一个力偶的情形,因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择
6、无关。,2.平面任意力系简化为一个合力的情形合力矩定理,合力的作用线通过简化中心,平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和。,合力矩定理：,(1)求向O点简化结果,解：,1).求主矢。,所以，主矢的大小,主矢的方向：,2）.求主矩MO,合力FR到O点的距离,（2）求最后合成结果,由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。如右图所示。,例题4,解：以O为简化中心有,2.4 空间汇交力系的合成,1.空间力的投影和分解,2.4 空间汇交力系的合成,1.空间力的投影和分解,直接投影法,二次投影法,F=Fx+Fy+Fz=Xi+Yj+Zk,2.空间汇交力系的合
7、成,空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。,2.5力对点之矩与对轴之矩 力偶系的合成,1.力对点的矩,空间的力对O点之矩取决于：,(1)力矩的大小；,(2)力矩的转向；,(3)力矩作用面的方位。,须用一矢量表征,2.力对轴的矩,力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。,力对轴之矩用来表征力对刚体绕某轴的转动效应。,当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。,力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。,力对轴之矩用来表征力对刚体绕某轴的转动效应。,当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。,力对轴之矩的解析表达式,3.力对点的矩与
8、力对轴的矩的关系,力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。,应用合力矩定理求解。,解：,方法1,力F 沿坐标轴的投影分别为：,由于力与轴平行或相交时力对该轴的矩为零，则有,应用力对轴的矩之解析表达式求解。,因为力在坐标轴上的投影分别为：,力作用点D 的坐标为：,则,方 法 2,解：（1）计算 MO(P),（2）利用力矩关系,2.7 重心,1.重心的概念及其坐标公式,PxC=P1x1+P2x2+Pnxn=Pixi,根据合力矩定理，对y轴取矩，有,-PyC=(P1y1+P2y2+Pnyn)=-Piyi,根据合力矩定理，对x轴取矩，有,将物体连同坐标系绕x轴顺时针转90后，再对x轴取
9、矩，有,-PzC=(P1z1+P2z2+Pnzn)=-Pizi,均质物体的重心就是几何中心，通常称形心,PxC=P1x1+P2x2+Pnxn=Pixi,-PyC=(P1y1+P2y2+Pnyn)=-Piyi,-PzC=(P1z1+P2z2+Pnzn)=-Pizi,由以上三式可以得到重心公式，即,对于均质体：,对于均质曲面：,2.确定物体重心的方法,（1）对称法,具有对称轴对称面或对称中心的物体，其重心必然在对称轴对称面或对称中心上。,若一个物体具有两个对称面，则形心必在两个对称面的交线上，若具有两个对称轴，则形心就在两轴的交点上。,（2）用组合法求重心,(a)分割法,x3=15,y3=5,A3
10、=300,解:建立图示坐标系,x1=-15,y1=45,A1=300,x2=5,y2=30,A2=400,(b)负面积法（负体积法）,解：建立图示坐标系，由对称性可知：yC=0,x,解：建立如图的坐标系,要使AD保持水平，梯形板的重心应在y轴上，即xC0,把梯形分为三角形与矩形两部分,设 BEx,由,解出得,（3）用实验方法测定重心的位置,(a)悬挂法,A,(b)称重法,第一步：,第二步：,结论与讨论,1.力在坐标轴上的投影为：,2.平面力的解析表达式为：,3.求平面汇交力系的合力,（1）几何法,根据力多边形法则，求得合力的大小和方向为：,合力的作用线通过各力的汇交点。,（2）解析法,根据合力
11、投影定理：,力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相同，则彼此等效。力偶矩是力偶作用效果的唯一量度。,4.力的平移定理：平移一力的同时必须附加一力偶，附加力偶的矩等于原来的力对新作用点的矩。,5.平面任意力系向平面内任选一点O简化，一般情况下，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，即,作用线通过简化中心O。这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩，即,6.平面任意力系向一点简化，可能出现的四种情况。,8.力在空间直角坐标轴上的投影,二次投影法,直接投影法,（3）力对点的矩与力对轴的矩的关系,力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。,9.重 心,重心的坐标公式,测试：试画出所有分离体图（80分）和整体受力图（20分）,
