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1、1 平面点集与多元函数,2 二元函数的极限,3 二元函数的连续性,第十六章 多元函数的极限与连续,1 平面点集与多元函数,一、平面点集,二、R2上的完备性定理,三、二元函数,四、n 元函数,一、平面点集,平面点集的表示：,r,1、常见平面点集,全平面和半平面,记为,型域,型域,2、邻域：圆邻域和方邻域,圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域,U(A,),U0(A,),3、内点、外点和界点,（1）内点:,比如 D=(x,y)|x2+y2 1,（2）外点:,（3）界点:,D=(x,y)|x2+y2 1,例如,提问,E的内点，外点，界点与E的关系是什么？,4.(以凝聚程度分为)聚点和孤立点,聚点,从几何
2、上看,所谓A是 E 的聚点是指在A 的附近聚集了无限多个E中的点.即在A的任意近傍都有无限多个 E 中的点.,（3）点集E 的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0)是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,（1）内点一定是聚点；,说明：,（2）边界点可能是聚点；,例如，,(0,0)既是边界点也是聚点,1.孤立点必为界点.,孤立点,说明,2.内点和非孤立的界点一定是聚点.,3.既不是聚点，又不是孤立点，则必 为外点.,例1,设平面点集,讨论此集合的内点集、界点集、聚点集？,5、开集和闭集,开集,闭集,例如，,为开集,为闭集,为既非开集又非闭集,结论,性质,若E为开集，则
3、CE为闭集，若E为闭集，则CE为开集;,(1)开集与闭集的对偶性,(2)设F1，F2 为闭集，则F1F2 和F1F2 都是闭集;,(3)设E1,E2为开集，则E1E2和E1E2都为开集;,(4)F为闭集，E为开集，则FE为闭集，EF为开集.,若 E 不包含边界,则 E 为开集.,若 E 包含边界,则 E 不是开集.,证明,“必要性”,“充分性”,6.开域、闭域、区域,连通性:,E 连通,A,B,E 是连通集,即E是连成一片的.,如图,开域,若非空开集E具有连通性,则称E是开域.,注：开区域是连成一片的,不包括边界的平面点集.,闭域：,开域连同其边界所成的点集称为闭集.,区域:开域、闭域，或开域
4、连同一部分界点所成的点集，通称为区域.,7、有界集与无界集,存在矩形区域,为开域.,为闭域.,为区域.,为开集，但不是开域，也不是区域.,8、点集的直径,注(1),(三角不等式),则对任给的正数，存在N，,证明,PnP0，且,设存在各点互不相同的点列PnE,PnU(P0,).,当 n N 时，,小结,P92 1,（1）（2）（7）（9）,4，10.,作业,二、R2上的完备性定理,1 点列的极限:,说明,(2)定义也可以表示为,(5)等价关系,证明 必要性.,充分性.,定理16.1(柯西准则),证 必要性.,则由三角不等式,及点列收敛定义，,充分性,设,定理16.2(闭域套定理),由于,因此,从
5、而有,最后证,的惟一性.,若还有,则由,定理16.3(聚点定理),证 现用闭域套定理证明.,如此下去得到一个闭正方形序列,证,都是有界数列。,由数列的致密性定理，数列 存在,收敛子列.,设，,相应 也是有界数列.,再根据数列的致密性定理，,也有收敛的子数列,设，,根据16.1习题5，有界无限点列 存在,收敛的子点列.,定理16.4(有限覆盖定理),三、二元函数,x、y-自变量，z-因变量.,函数的两个要素:,定义域、对应法则.,所求定义域为,解,例5 求 的定义域,定义域 是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.,二元函数的图象,二元函数的图形通常是一张曲面.,如图,例如,例如,9、n 维空间,实数 x,数轴点.,数组(x,y),实数全体表示直线(一维空间),平面点,(x,y)全体表示平面(二维空间),数组(x,y,z),空间点,(x,y,z)全体表示空间(三维空间),n 维空间中两点间距离公式,设两点为:,n 维空间中邻域概念：,区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,四、n元函数,n维向量空间,n元函数的概念,“点函数”的写法,小结,7，8（4）（6）（7）（9），12.,作业 P 92,
