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1、主讲教师：山东省东明一中 车 华,三垂线定理,1、直线与平面垂直的判定方法：,（1）定义；,（2）判定定理；,（3）例1,2、直线与平面垂直的性质：,（1）定义；,（2）性质定理；,（3）例3,3、直线与平面垂直和直线与直线垂直是可以相互转化的.,4、应用判定定理时，一定要弄清条件.,5、两个唯一结论.,知识回顾：,什么叫平面的垂线、斜线、射影？,直线PO是平面的斜线,O为斜足;,直线PA是平面的垂线,A为垂足;垂足A叫点P在平面内的正射影(简称射影）.,AO是PO在平面内的射影.,预备知识：,P,（斜线上一点与斜足间的线段叫斜线段）,引例:正方体ABCD-ABCD(1)找平面AC的斜线BD在
2、平面AC上的射影;(2)BD与AC的位置关系如何?(3)BD与AC所成的角是多少度?,A,B,C,D,D,射影,斜线,平面的垂线,去掉多余线段后的模型,平面内的直线,已知 PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a，aAO。求证：aPO,在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,三垂线定理,证明：,aPO,PA a,AOa,a平面PAO,PO平面PAO,PA a,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,例1 已知P 是平面ABC 外一点，PA平面ABC，AC BC，求证：PC
3、BC,证明：P 是平面ABC 外一点 PA平面ABC PC是平面ABC的斜线 AC是PC在平面ABC上的射影 BC平面ABC 且AC BC 由三垂线定理得 PC BC,例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：,(1)PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：POBD，PCBD,(3)在正方体AC1中，求证：A1CB1D1，A1CBC1,(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAM,(1),(2),(3),(1)PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：POBD，PCBD,证明:,ABCD为正方形 O为BD的中点,AOBD,又AO是PO在ABCD
4、上的射影,POBD,(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAM,BCAM,证明:,PB=PCM是BC的中点,PM BC,PA平面PBC,PM是AM在平面PBC上的射影,(3)在正方体AC1中，求证：A1CBC1，A1CB1D1,在正方体AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影,证明：,同理可证，A1CB1D1,由三垂线定理知 A1CBC1,我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件,解题回顾,，怎么找？,三垂线定理解题的关键：找三垂！,怎么找？,一找直线和平面垂直,二找平面的斜线在平面 内的射影和平
5、面内的 一条直线垂直,注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件,解题回顾,三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：,相交直线,异面直线,使用三垂线定理还应注意些什么？,解题回顾,直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。,例如：当 b 时，bOA,注意：如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？,但 b不垂直于OP,解题回顾,面ABCD 面直线A1C 斜线 a直线B1B 垂线 b,面ABCD 面面B1BCC1面直线A1C 斜线 a直线AB 垂线 b,面ABCD 面直线A1C 斜线 a直线B1B 垂线 b,已知
6、：PA，PO分别是平面 的垂线和斜线，AO是PO在平面 的射影，a,a AO，l 平行于 a。求证：l 垂直于PO,三垂线定理包含几种垂直关系？,线射垂直,线面垂直,线斜垂直,直 线 和平面垂直,平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直,平面内的直线和平面的一条斜线垂直,线射垂直,线斜垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直,三垂线定理的逆定理,？,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,已知：PA，PO分别是平面 的垂线和斜线，AO是PO在平面 的射影,a,a PO求证：a AO,三垂线定理的逆定理
7、,三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,定理,逆定理,例3若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,则这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。,已知：BAC在平面内，点P，PEAB，PFAC，PO，垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：BAO=CAO,分析：要证 BAO=CAO只须证OE=OF,OEAB,OFAC,P,?,?,?,证明：,PO,OE、OF是PE、PF在内的射影,PE=PF,OE=OF,由OE是PE的射影且PEAB,OE
8、AB,同理可得OFAC,结论成立,例4 在四面体ABCD中，已知ABCD，ACBD求证：ADBC,DOBC，于是ADBC.,证明：作AO平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影。,O,ABCD，BOCD，,同理COBD，,于是O是BCD的垂心，,应用三垂线定理及逆定理证明直线垂直的步骤:,“一垂”:找平面及平面的垂线,“一垂二射三证明”,“二射”:找斜线在平面上的射影,“三证明”:用定理证明直线垂直,小结：,例3、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？,解：在道边取一点C，,使BC与道边所成水平角等于90，,再在道边取一点D，,使水平角CDB等于45，,测得C、D的距离等于20cm,BC是AC的射影 且CDBC CDAC,CDB=45，CDBC，CD=20cm BC=20m，,因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。,三垂线定理,作业：,习题9.4第6题,
