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1、1,比热容,固体中讨论的热容通常指定容热容,固体热容的贡献主要有两部分：一是来源于晶格振动(声子)，称为晶格热容；一是来源于电子的热运动，称为电子热容。除非在很低温，电子热运动的贡献往往很小,2,声子能量,在温度为 t(=kBT)的声子总能量可表示成所有声子模能量的总和,式中 表示平衡情况下波矢为 K、极化模为 p 的声子占有数。声子为玻色子，因此有,3,5.1.1 普朗克分布（玻色分布）,考虑一组处于热平衡的全同谐振子。玻尔兹曼因子 表示量子态 En 出现的热力学概率，则处于第 n+1 个量子态与第 n 个量子态的谐振子数目的比为,第 n 个量子态的谐振子占总谐振子数的比为,4,一个谐振子的
2、平均激发量子数为,利用,可得,此即普朗克分布（玻色分布）,5,5.1.2 简正模的计算方法,具有不同频率 wK,p 的谐振子集合的热平衡能量为,假定在 ww+dw 范围内晶体具有给定极化模为 p 的振动模式数 Dp(w)dw，用积分代替求和，,6,晶格比热容为,所以问题就转化为求 Dp(w)，即求单位频率间隔内的模式数目，此函数亦称为模式密度，但常称为态密度,7,5.1.3 一维情况下的态密度,考虑玻恩-卡曼环状原子链，波矢 K 的取值,L=Na 为原子链的长度，所以在区间 单位长度的模式数目为 L/2p，在其它区间为0,实际上我们需要知道的是单位频率间隔内的模式（或状态的数目）D(w),8,
3、w(K)是 K 的偶函数，所以在 w 处 dw 间隔内的模式数等于在 K 处 dK 间隔内的模式数的两倍,当 w(K)成水平直线，即群速等于0时，D(w)就出现一个奇点,9,5.1.4 三维情况下的态密度,将周期性边界条件应用于边长为 L 的立方体所包含的 N3 个原胞，于是波矢 三个分量的取值与一维的情况一样，即,对每一种偏振模式每一支色散，波矢空间每一体积元(2p/L)3 内有一个 值，即 空间每单位体积内允许的 值数为,10,对每种偏振，波矢比 K 小的模式总数为,因此对每种偏振类型，态密度为,11,5.1.5 计算态密度的德拜模型,德拜具体分析的是各向同性的弹性介质，对每一种偏振假定声
4、速保持恒定，就像在经典弹性连续介质中的情况一样，这时色散关系,则态密度便成为,12,如果样品有 N 个原胞，则声学声子的总数目就是 N 个，因此由,我们可得到截止频率,在 空间与此频率相应的截止波矢为,13,对每一种偏振类型，声子能量为,其中定义，以及,为简单起见，假定波速 v 与偏振态无关，因此,q 称为德拜温度,14,德拜温度为,因此总的声子能量,15,由上式对温度进行微分运算，可得热容,16,德拜近似下的固体比热容,锗和硅的比热容,17,根据经典统计理论的能量均分定理，每一个简谐振动的平均能量是 kBT，若固体中有 N 个原子，则有 3N 个简谐振动模，则固体总能量为,杜隆-珀替定律,热
5、容为,即热容是一个与温度和材料无关的常数，此即杜隆-珀替定律,18,在高温的极限 T q 情况下，即 xD1，x1,所以在高温极限，热容趋于经典值,因此,19,5.1.6 德拜的 T3 律,在很低的温度(Tq)下，有 xD，即上式中积分的上限为趋于无穷,所以在低温极限下,T3 定律,20,固体氩的低温热容,在此温区，实验结果与德拜的 T3 律符合极佳,21,我们曾指出(4.1)，在长波极限下(波长远远大于晶格常量)，晶体可当作弹性连续介质来处理，因此德拜假定用连续介质的色散关系来处理晶格热容的理论在低温极限下能给出正确的结果,在低温下，的晶格振动模式对热容几乎没有贡献，热容只要来自 的振动模，
6、所以在低温极限，热容决定于最低频率的振动，而这些正是波长最长的弹性波,对实际晶体，T3 律只适用于温度非常低的区域,22,5.1.7 计算态密度的爱因斯坦模型,爱因斯坦对晶格振动采用了很简单的假设，即假设晶体中各原子都以相同的频率 w0 振动。为简单起见，考虑 N 个原子的一维单原子链,态密度,热能,23,此即爱因斯坦模型的结果，三维情况下，用 3N取代 N，即,热容,在高温极限,同样满足杜隆-珀替定律,24,金刚石的热容,爱因斯坦模型的结果与实验符合的比较好，但是在低温下，爱因斯坦模型与实验不符，具有局限性,25,5.1.8 D(w)的一般表达式,声子频率在 w 和 w+dw 之间的允许 K
7、 值的数目为,这是在 空间一个薄壳内积分，薄壳两侧的声子频率分别为 w 和 w+dw,这样求态密度的问题就转化为如何计算薄壳的体积了,26,令 dSw 表示 空间内选定等频面 w 上的一个面积元，在等频面 dw 和 w+dw 之间的体积元是一个以 dSw 为底、以 dK 为高的圆柱体,其中 dK 为两等频面之间的垂直距离，另外 w 的梯度 也垂直于等频面 w，因此,27,其中 为声子群速，因此,因此我们得到态密度的一般表达式,28,态密度计算例子，如对于一维单原子链,29,又如对于德拜模型,其等频面为一个球面，所以,30,在 的点，也即群速为零的点，态密度将显示出某种奇异性，这些临界点称为范霍夫奇点(Van Hove Singularity)。在这些点，态密度函数曲线中显现出一些尖锐的峰和斜率的突变,
