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1、第 2 章 水静力学（Hydrostatics),水静力学是液体在静止或相对静止状态下的力学规律及其应用的科学。由流动性知，静止状态下，作用在液体上的表面力只有压强。,2-1 静止液体中压强的特性,一、静水压强,静水压力P：液体对边壁的作用力静水压强p：单位面积上的静水压力,单位：压力P：(N或可kN)压强p：N/m2（Pa帕斯卡）或kN/m2（kPa千帕）,二、静止液体中压强的特性,特性一：,静压强的方向与作用面的内法线方向一致，或静压,强的方向垂直并指向作用面。,特性二：,静止液体中任意点压强的大小与作用面的方向无关。,例2-1 画出AB面上和BC面上B点压强的方向。,B点：AB面上一点其
2、方向p1B点：BC面上一点其方向p2B点：拐点说明：水中任意一点B，各方向的压强p1、p2 是相等的，与受压面的方位无关。,A,B,C,2.2 液体平衡微分方程,2.2.1 液体平衡微分方程,x,静止液体内取边长分别为 dx,dy,dz 的微元六面体，,由于六面体为静止，故作用在六面体上各个方向力满,y,O,z,O,dx,dy,dz,x,a,y,z,b,c,d,d,a,b,c,pM,pN,中心点 O(x,y,z)压强 p(x,y,z)。,足力平衡方程。以 x 方向为例：,M,N,表面力：除 abcd 与 abcd 两面外，其余面上作用的力在x轴 上投影均为0。此两面中心点压强可用泰勒(G.Ta
3、ylor)级数展开，取前两项：,两个面上的总压力则为：,质量力：x 方向单位质量力与六面体总质量的乘积，即,列 x 方向力平衡方程得：,化简后得:,上式即液体平衡微分方程，由瑞士学者欧拉（L.Euler)于1755导出，又称欧拉平衡微分方程。,同理:,物理意义：静止液体中，液体压强沿某一方向的变化率与该方向单位体积上的质量力相等,1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔城，1783 年9月18日去逝于俄罗斯的彼得堡，享年76岁。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获硕士学位。1727年任彼得堡科学院数学教授。1741年应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长。直到176
4、6年，在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡。他从19岁开始发表论文，直到76岁，共写下了886本书籍和论文，涉及到数学分析、代数、数论、几何、物理和力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学等。他的许多著作都是在1766年失明后完成的。,欧 拉 Leonhard Euler,用dx，dy，dz 分别依次乘以欧拉平衡微分方程的各式，然后相加，得,其中的压强全微分为：,最后得液体平衡微分方程的综合式或液体平衡微分方程,的全微分式,物理意义:液体静压强的分布规律是由单位质量力决定的,单位质量力不同,流体静压强的分布规律也不同,2.2.2 等压面 等压面压强相等的空间点构成的面。在等压面上，p=c，dp=
5、0，平衡微分方程的全微分式则可表示为：,上式称等压面方程。,根据等压面方程，单位质量力与等压面上任意线段的点,等压面方程中，X、Y、Z 为单位质量力在三个坐标轴的,分力，而 dx、dy、dz 则是等压面上任意线段在三个坐标轴,的投影，由矢量代数得：,乘积等于0，这说明这两个向量相互垂直，即质量力与等压,面相互垂直，如重力与水平面。,2.3 重力作用下静止液体中压强的分布规律,2.3.1 水静力学基本方程 设重力作用下的静止液体，置于直角坐标系Oxyz 中，液面的位置高度为 zo，压强为 po。,x(y),若质量力只有重力，X=Y=0，,积分上式，得,z,O,zo,po,p,z,Z=g，则液体中
6、任意点压强的全,微分可为：,根据边界条件确定积分常数：z=zo，p=po，c=po+gzo代入得：,上式称为水静力学基本方程式，表示了质量力只有重力时,液体静压强的分布规律。,式中：,p 静止液体中某点的压强（Pa）；,po液面压强（Pa）；,z 某点在水平坐标面上的高度（m）；,h 该点到液面的距离，又称淹没深度（m）。,2.3.2 帕斯卡原理压强等值传递,式中hAB为 A、B 两点的水深差。,若在 A 点增加一个压强值pA，A 点的压强变为,于是，B点的压强则应为,上式说明，静止液体中任意点的压强增值将等值地传递到,对于液体中任意 A、B 两点，有,各点。,3.静止液体的性质（1）静止液体
7、中的压强与水深成线性关系，而与流体体积无直接关系；（2）静止液体中任意点压强的变化，将等值地传递到其它各点；（3）静止液体中任意两点的压差仅与它们的垂直距离有关。推论：等压面概念（均质、连通、水平面必为等压面）,连通器原理（作用的力仅有重力）,在均质，连通的液体中水平面必为等压面，(在均质、连通的液体中等压面必为水平面，)等压面具备的三个条件。均质:同一液体连通：同一液体并相连水平面：处于用一水平位置,难点：判别等压面,12 均、连、水 23 均、连、水 38 不、不、水 45 均、连、水 47 不、不、水 67 均、连、水,2.3.3 压强的度量,压强与相对压强间有关系：,由于计算基准不同，
8、同一点的压强可用不同的值来描述。,绝对压强与相对压强,绝对压强（absolute pressure)以无气体分子存在的完,相对压强（gage pressure)以当地大气压为基准起算,全真空为基准起算的压强值，用符号pabs表示。,的压强值，用符号 p 表示。若设当地大气压强为pa，则绝对,普通工程或设备都处于大气压强作用下，采用相对压强往往使计算简化。如开口容器中液面下某点的压强计算可简化为,工程中使用的一种测量压强的仪器 压力表。由于该,真空压强,或,真空压强又可表示为相对压强的负值，故又称负压。,表以大气压作为 0 点，故该表所测的压强值为相对压强。,因此，相对压强又称表压强。,真空（v
9、accum)绝对压强小于当地大气压的状态。,真空压强 绝对压强小于大气压强的差值，以符号pv,表示。根据定义有：,压强关系图,完全真空,p,大气压,状态一,状态二,pabs1,p1,pabs2,pv,pa,当某点的绝对压强小于大气压，即处于真空状态时，真空值的大小也可用液柱高度即真空度表示出来，如图所示。,pabs,hv,pa,由于密闭水箱内为真空，,或,hv称为真空高度，简称真空度。,水槽为开口通大气，于是水,槽中的水在玻璃管两端压强,差的作用下上升了hv 的高度。,解：根据p=p绝-pa p真=pa-p绝=-p得 pA绝=pa+pA=98+24.5=122.5（kN/m2）pB真=-pB=
10、-(-24.5)=24.5（kN/m2）pB绝=pa-pB真=98-24.5=73.5（kN/m2）,见图中A、B两点,例2-求水库水深为2.5m处的相对压强、绝对压强。,解：方程p=p0+h 取相对压强 p0=pa=0 p=0+9.82.5=24.5（kN/m2）取绝对压强 p0绝=pa=98（kN/m2）p=98+9.82.5=122.5（kN/m2）,-24.5kN/m2，,2.3.4 测压管水头 以单位体积液体的重量g 除以水静力学基本方程不定积分式各项，得,式中 z 某点在基准面以上的高度，称位置高度或,测压管的液面到该点的高度，称测压管高,压管水头（static head）。,静止
11、液体中，各点的测压管水头相同。,度（pressure head）。,位置水头（elevation head）。,测压管的液面到基准面的总高度，称测,三、水头和单位势能的概念,Z位置水头，,压强水头，,测压管水头，,静止液体内各点的测压管水头等于常数。,单位位能,单位压能,单位势能,静止液体内各点的单位势能相等。,2.3.5 压强的计量单位,应力单位 国际单位制：帕（Pa），千帕（kPa或103Pa），兆帕（MPa或106Pa）；大气压的倍数 标准大气压（atm）：1 atm 相当于 101325 Pa；工程大气压（at）：1 at 相当于 98000 Pa 或 1 at 相当于 0.1 MPa
12、；液柱高 水柱高：1 标准大气压可维持10.33 mH2O高，1 工程大气压可维持10 mH2O高；水银柱：1 标准大气压可维持760 mmHg高，1 工程大气压可维持736 mmHg高。,换算关系,at=98000N/m2=98KPa=10m水柱高=736mm汞柱高,atm=101325/m2=10.33m水柱高=760mm汞柱高,盛水容器a和b的测压管水面位置如图（a）、（b）所示，其底部压强分别为pa和pb。若两容器内水深相等，则pa和pb的关系为（）A.papb B.papb C.pa=pb D.无法确定,质量力只有重力时，等压面与水平面间的关系，正确的说法是（）A 水平面一定是等压面
13、 B.等压面一定是水平面 C.等压面可能是曲面 D.无法判断,如图所示，两形状不同的盛水容器，其底面面积相等，水深相等，试比较两容器底部所受静水总压力P的相对大小为（）AP1P2 BP1P2 CP1P2 D无法确定,公式 中，z表示的是 水头，是 水头。1个工程大气压等于（）A 101.3kpa B 10mH2O C 1.033 kgf/m2 D rdz,相对压强的起量点为（）A 绝对压强 B 标准大气压 C 当地大气压 D 液面压强绝对压强的起量点为（）A 绝对真空 B 标准大气压 C 当地大气压 D 液面压强,绝对压强pabs与当地大气压pa、相对压强或真空值(pv)之间的关系为（）A p
14、abs=p+pa B pabs=p-pa C pabs=pa-p D pabs=pv+pa,如图所示封闭水箱，已知液面的绝对压强pabs=81.5kPa,水箱内水深h=2.8m，水箱右侧壁上的金属压力计距水箱底h1=0.8m。试求：（1）水箱内相对压强最小值和真空度最大值；（2）金属压力计的读数。,2.3.6 压强分布图 压强分布图 在受压面承压一侧，根据压强的特性，按一定比例的矢量线段表示的压强大小和方向的图形。压强分布图是液体静压强分布规律的几何图示。对于开口容器，压强通常用相对压强表示。,A,B,gh,A,B,C,ghB,ghC,A,B,C,g(h左-h右),图解法作用于矩形平面上的静水
15、总压力的计算,静水压强分布图,把某一受压面上压强随水深变化的函数关系表示成图形，称为静水压强分布图。,的绘制规则：,1.按一定比例,用线段长度代表该点静水压强的大小,2.用箭头表示静水压强的方向,并与作用面垂直,举例,举例,pa,Pa+gh,画出下列AB或ABC面上的静水压强分布图,相对压强分布图,ghB,画出下列容器左侧壁面上的压强分布图,2.4 液柱式测压计,2.4.1 连通器内的等压面,M1,m,N1,M,N,d,h1,h2,因为,再由,所以,由以上分析得等压面的条件：连通的相同液体的水平面。,在连通器内做两条水平线 MN 与,M1N1，最低点为 d。,由水静力学基本方程：,得,因为,2
16、.4.2 液柱式测压计 1.测压管（piezometer）测压管 指一端接测点，另一端开口通大气的竖直玻璃管。,h,p,由于测压管高度有限，不,宜量测压强较大的点。为避免,误差，玻璃管不宜过细。,根据水静力学基本方程，,通过量测的测压管高度，可直,接求出测点的相对压强，即,2.U形管测压计（U-tube manometer）,使用水银作为测压介质，U形,p0,m,h,hm,M,N,由于MN 为等压面，求得水箱液面压强,管测压计可测量较大的压强。,过M、N 两点取水平等压面，,根据水静力学基本方程，得,3.压差计（differential manometer）,压差计用于测量两点的压强差或测压管
17、水头差。,A,B,x,m,z,hm,M,N,由于等压面，pM=pN，AB点的压强差,若令z=zB zA，测压介质分别为水和,由水静力学基本方程,水银，并以g遍除之，得测压管水头差,2.5 液体的相对平衡,相对平衡指液体相对于地球运动而相对于容器静止的,根据达朗伯（dAlembert）原理，在质量力中计入惯性,2.5.1 等加速直线运动容器中的液体平衡,盛水容器（小车），静止,H,a,z,y,O,力，液体的运动问题就转化成相对静止问题。,时其内水深H，该容器以加速,度a做直线运动，液面形成倾,斜平面。将坐标取在容器上，,容器内水相对于坐标静止。,状态。,1.压强分布规律,根据欧拉平衡方程综合式,
18、质量力除重力外，计入惯性力。惯性力的方向与加速,于是上式可简化成,积分后得,由于液面倾斜前后液体体积不变，故在中间 y=0 处，,则,z=H，p=p0，于是积分常数为：c=p0+gH,度相反，即,2.等压面,令 p=c，得等压面方程为,可见等压面是以,而质量力合力作用线的斜率为。,g,a,f,两条直线斜率的乘积等于 1，说明,令 p=p0，得自由液面方程,为斜率的倾斜平面。,这两条直线相互垂直，即质量力与等压面,相互垂直。,3.测压管水头,可见，只有在同一个横断面上（y 为一定值时），各点的测压管水头才相等。否则，测压管水头不再是一个常数。,2.5.2 等角速度旋转容器中液体的相对平衡,一盛有
19、液体深度为 H 的圆柱形容器，绕容器立轴以等,角速度旋转。由于液体的黏滞作用，经一段时间后，容器,内的所有液体质点以相同的角速度绕该轴旋转。此时，液体,与容器之间、液体中质点之间再无相对运动，在容器中形成,了具有抛物面液面的、相对于容器静止的液体。,1.压强分布规律,根据欧拉平衡方程综合式,z,y,x,O,y,H,r,质量力除重力外，计入惯性力，,惯性力方向与向心加速度方向相,反，为离心方向，即,积分得,因为,所以上式又可表示为,根据边界条件 r=0，z=z0，p=p0 确定积分常数，得,于是,2.等压面,令 p=c，得等压面方程,令 p=p0，得自由液面方程,将自由液面方程,代入压强分布公式
20、，得,上式表明，铅垂方向压强分布规律与静止液体相同。,3.测压管水头,测压管水头才为常数。,上式表明，只有 r 一定时，即在同一个同心圆柱面上，,流体随容器作等角速度旋转运动时，其测压管水头z+p/r=()A C(x,y)B C(y,z)C C(Z)D C(0),2.6 液体作用在平面壁上的总压力,对于气体，平面总压力可由压强与作用面面积的乘积直接求得。对于液体，由于空间各点压强不等，无法直接求出总压力的大小，必须考虑静压强的分布规律。求解方法有解析法和图算法。2.6.1 解析法 总压力的大小 设开口水池中面积为 A 的任意形状平面与水面夹角为。取坐标系 Oxy，并将平面 Oxy 绕 y轴旋转
21、 90o。,O,y,x,受压面上，任取一微元面积 dA，水深 h，坐标 y。,对总面积积分，得,式中,所以得：,上式表明，任意形状平面总压力等于受压面积与其形心,dA,y,h,yc,hc,pc,c,压强的乘积，与受压面的倾角和形状无关。,y,o,微元面 dA上作用的静水总压力,可表示为,总压力作用点,设总压力作用点（压力中心）D点到Ox轴距离为 yD，根据合力矩定理有：,积分,为受压面 A 对 Ox 轴的惯性矩，令,则,将,代入并化简，得,由惯性矩平行移轴定理，将,代入上式，得,总压力作用点计算公式：,式中 yD 总压力作用点到 Ox 轴距离（m）；,yc 作用面形心点到 Ox 轴距离（m）；
22、,A 作用面面积（m2）；,Ic 受压面对通过自身形心轴的惯性矩：,矩形,圆,由于,0，故 yD yc。,公式适用条件：只适用于受压平面一侧有同种液体，并且液面相对压强为零（即自由液面）的情况,当是同种液体，液面相对压强不为零，如用上述公式计算静水总压力及其作用点，则应以相对压强为零的液面（即测压管液面）为准来进行计算式中hc应取受压平面形心点C在测压管液面下的淹没深度yc和yD，则应取受压平面的形心点C和静水总压力的作用点D沿受压平面的方向到测压管液面的距离,2.6.2 图算法,对于底边平行于液面的矩形平面，还可采用图算法求解作用在平面上的静水总压力大小与作用点。设一底边平行于液面的矩形AB
23、，与水面夹角，宽度b，上、下底边的淹深分别为h1、h2。,A,B,h1,h2,根据解析法,式中Ap为压强分布图的面积。,总压力作用线通过压强分布图的形心。,如图所示，某挡水矩形闸门，门宽b=2m，一侧水深h1=4m，另一侧水深h2=2m，试用图解法求该闸门上所受到的静水总压力。,解法一：,首先分别求出两侧的水压力，然后求合力。,方向向右,依力矩定理：,可解得：e=1.56m,答:该闸门上所受的静水总压力大小为117.6kN，方向向右，作用点距门底1.56m处。,合力对任一轴的力矩等于各分力对该轴力矩的代数和。,解法二：首先将两侧的压强分布图叠加，直接求总压力,方向向右,依力矩定理：,可解得：e
24、=1.56m,答：略,一垂直放置的圆形平板闸门如图所示，已知闸门半径R=1m，形心在水下的淹没深度hc=8m，试用解析法计算作用于闸门上的静水总压力。,解：,答：该闸门上所受静水总压力的大小为246kN，方向向右，在水面下8.03m处。,图示左边为水箱，其上压力表读数为-0.147*105Pa，右边为油箱，油的r=7350N/m2，用宽1.2m的闸门隔开，闸门在点铰接，为使处于平衡，求必须在点施加多大的水平力。,解:1解析法,（）求右侧油箱对板作用力,（）求左侧水箱对板作用力,P1的作用点距点为3.2-2.2=1m,设作用力方向向左，则由于力的作用点不在同一轴线上取对点力矩平衡,P1的作用点距
25、点为3.2-2.2=1m,F=26931N,5.5m,1.8m,2图解法,图示平板AB，宽1m，倾角450，左侧水深3m，右侧水深2m，试求静水总压力及其作用点的位置,解：先考虑左边水体：,再考虑右边水体：,2.7 液体作用在曲面壁上的总压力,工程中存在着大量的曲面壁，如圆管管壁、球形容器等。与平面相比，作用在曲面上的压强不仅大小随位置而变，方向也因位置的不同而不同。2.7.1 曲面上的总压力 设开口水池中一面积为A的柱面AB，一侧承压。选坐标系，令xOy平面与自由液面重合，z 轴铅垂向下。,A,B,曲面上沿母线方向任取水深为 h 的条形微元面 EF，,面积为dA，其上作用压力dFP。由于,各
26、微元面上的压力 dFP 方向不同，不,能直接积分求解 AB 面上的总压力，,需首先将其分解为 dFPx与dFPz各自,积分后再进行合成。,E,F,dFP,h,z,O,x,分解后,E,F,dFP,dFPz,dFPx,dA,dAx,dAz,总压力的水平积分,式中,，代入上式，得,式中 FPx 总压力的水平分力；Ax 曲面的铅垂投影面；,hc 投影面形心点深度；pc 投影面形心点压强。,总压力的铅垂分力,式中,为微元曲面到自由液面的柱体体积；,而,则是整个曲面到自由液面的柱体体积；,称之为压立体。,总压力的合力,总压力的方向,2.7.2 压立体,压立体 受压曲面与自由液面（或其延伸面）之间的柱体。由
27、于曲面的承压位置不同，又有实、虚压力体之分：,1.实压力体 压力体与液体在,曲面同一侧，如同压力体内有液体，,故名。铅垂分力方向向下。,FPz,2.虚压力体 压力体与液体在,曲面不同侧，如同压力体空虚，故,名。铅垂分力方向向上。,FPz,3.压力体叠加 实虚压力体叠,加后，叠加部分抵销掉，剩余部分或,实或虚。,FPz,FPz,作用于曲面上的静水总压力,水平分力Px,Pz铅直分力,静水总压力,大小：,方向：与水平方向的夹角,作用点：,过Px和Pz的交点，作与水平方向成角的线延长交曲面于D点,举例,曲面上静水总压力的水平分力等于曲面在铅垂投影面上的静水总压力。,曲面上静水总压力的垂直压力等于压力体
28、内的水体重。,压力体,压力体应由下列周界面所围成：,（1）受压曲面本身,（2）自由液面或液面的延长面,（3）通过曲面的四个边缘向液面或液面的延长面所作的铅垂平面,举例,一弧形闸门如图所示，闸门宽度b=4m，圆心角=45，半径R=2m，闸门旋转轴恰与水面齐平。求水对闸门的静水总压力。,解：闸门前水深为,水平分力：,铅直分力：,静水总压力的大小：,静水总压力与水平方向的夹角：,静水总压力的作用点：,答：略。,图示为一溢流坝上的弧形闸门。已知R=10m，门宽b8m，60，试求作用在该弧形闸门上的静水总压力及其作用线位置。,解：,水平分力：,水平向右,作用点：,方向：,静水总压力的大小：,铅直分力：,静水总压力与水平方向的夹角：,方向：,铅垂向上,
