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1、第5章 利率,利率的种类,国债利率(Treasury rates)bill,Note,bond银行间同业拆借利率(LIBOR rates)回购利率(Repo rates),利率的测量方式,（1）按时间频率复利(compounding frequency)：比如按季度复利或按年份复利（2）连续复利(continuous compounding),连续复利,随着利率复利频率的增加，达到极限的时候就形成了连续复利的利率一个$100 的投资，按连续复利形式的收益率R计算，在T时增加到$一个$100 的T时收益，按连续复利形式的贴现率R计算，在0时将折现为$,转换公式,假定：Rc 是连续复利计算的利率R
2、m是每年复利m次的年利率如何进行两种复利频率不一样的利率之间转换呢？,零息票债券收益率(Zero RatesSpot rate，即期利率),零息票债券(Zero coupon bond)：债券存续过程中无利息收益，只有在最终时间点T时才获得现金流的债券。零息债券收益率：各到期期限的零息债券所隐含的利率。,附息债券的定价,为了对债券的现金流进行定价，需要对每个现金流按相应的零息票利率进行贴现。以上面的表格为例，一种两年期限的债券每半年计算的年利率是6%，支付的利息是3，本金100在最后一期支付，则其理论价格是,？,附息债券收益率(Bond Yield),债券收益率：债券现金流贴现成现值，并使现值
3、等于债券市场价格的贴现率。假定上面的债券市场理论价格等于98.39按连续复利计算的债券收益率是通过解下式获得的 通过试错法或者牛顿法得y=0.0676 或 6.76%.,平价收益利率(Par Yield),对于一定到期期限的债券，平价收益利率就是促使债券价格等于其面值(par value or principal value)的利息率以上面的例子，它就是,零息票债券收益率曲线的确定,现实中，有一些零息债券由经纪公司发行(strip)，这些债券的收益率就是零息票债券收益率。如：02进出04，01进出02，12贴现国债02由于实际当中能够观察到的通常是附息票债券的价格，所以，一个重要的问题是如何根
4、据附息债券的价格来计算得出零息票债券收益率曲线通常用所谓“捆鞋带法”(bootstrap)来解决这一问题。这种方法把每一个息票支付看作一个独立的“微小”的零息票债券，这样,附息债券就变成许多零息票债券的组合。考虑下表中6种债券价格的数据(假设所有附息债券都是半年付息)。,贴现债券？,对于前面3种债券，分别有,由此得 y0.25=10.12%y0.5=10.47%y1.0=10.54%对于第4种债券，将其看作由3张零息票债券组成：1张6个月期面值4元、1张1年期面值4元、1张1.5年期面值104元。所以有 由此得 y1.5=10.68%,类似地，对于第5种债券，有 由此得 y2.0=10.81%
5、为了求出y2.75，必须先求出y0.75、y1.25、y1.75和y2.25。利用线性插值法，求出这三个零息票收益率分别为10.505%、10.61%和10.745%。同样，利用线性插值法，有,将第6种债券看作由6张零息票债券组成，有 这是一个关于y2.75的方程。利用试错法或诸如牛顿法的数值方法可以解得y2.75=10.87%。至此，根据y0.25，y0.5，y1.0，y1.5，y2.0和y2.75的数据，可以构造出一条零息票收益率曲线。,捆鞋带法计算的零息票债券收益率曲线,Zero Rate(%),Maturity(yrs),10.127,10.469,10.536,10.681,10.8
6、08,即期利率和远期利率,即期利率(spot rate)定义为从今天开始计算并持续n年期限的投资的到期收益率。这里所考虑的投资是中间没有支付的，所以n年即期利率实际上就是指n年期零息票收益率(zero-rate)。远期利率(forward rate)是由当前即期利率隐含的将来某一时期的短期利率。,令y1、y2、y3和y4分别为1年期、2年期、3年期和4年期即期利率，由当前的相应期限的即期利率隐含决定了与这些点利率相对应的远期利率f1、f2、f3和f4(假设以上的利率都是连续复利)：显然，,远期利率的计算,n-year,Forward Rate,zero rate,for,n,th Year,Y
7、ear(,n,),(%per annum),(%per annum),1,3.0,2,4.0,5.0,3,4.6,5.8,4,5.0,6.2,5,5.3,6.5,远期利率的计算公式,在未来时间区间 T1 和 T2 的远期利率是则T时刻的瞬时远期利率等于其中，,?,如何锁定远期利率呢？,假定借贷的零息票率是一样的。一个投资者以3%的年利率借入$100一年,并同时把这些钱以4%的利率投资二年。问：远期利率是多少？如果，一个投资者认为未来第一年结束时市场的利率将不同于今天计算的远期利率，他会怎么办？,远期利率协议 远期利率协议(forward rate agreement,FRA)是一个远期合约，参
8、与者约定在未来某个时期将某个确定的利率应用于某个确定的本金。多头方承诺向空头方提供贷款，空头方承诺向多头方借款，借贷的对象是一笔以特定币种表示的特定金额的本金，借贷的利率在协议中约定，贷款有特定的期限并且在未来某一双方约定的日期开始执行。但实际上FRA通常是在约定的未来某个时期的开始时刻用现金来结算的。,T0,T1,T2,交割,X:,Y:,X:贷款者,Y:借款者,T2时的现金流走向,协议的价值公式,假定：第一个FRA可以保证收到以LIBOR远期利率RK 和本金L计算的 T1 和 T2 时间区间内的利息收益。第二个FRA保证收到以LIBOR远期利率Rf 和本金L计算的 T1 和 T2 时间区间内
9、的利息收益。从而，对于贷款者的协议价值就是其中，R2 是T2 期的连续时间复利。,例,给定以上表中的伦敦银行间同业拆借利率(LIBOR)和远期利率。一份远期利率协议规定持有方将以1亿的本金按6%的年频率复利在第一年底和第二年底之间计算所获得的利息。远期利率是5%的连续复利或者5.127%的年复利。这份远期利率协议的现值是多少？,久期是债券持有者获得第一次现金流的平均等待时间。假定一种债券在时间点ti 支付现金流ci，则久期等于 其中 B 是债券价格，而y 是债券收益率(两者都是连续复利)从而可得,久期(Duration),如何计算久期？,修正后的久期,当债券收益率 y 每年复利 m 次，则从而
10、久期变为,Y,X,两个具有相同久期的投资组合,债券价格的凸性,为什么零息债券收益率曲线是上升的呢？,期限结构(Term structure)理论,(1)预期理论(expectation theory)该理论认为，远期利率等于市场整体对未来相应期间的短期利率的预期。也就是说，它认为，T1 和 T2期间的远期利率等于市场整体所预期的T1 和 T2期间的利率。(2)市场分割理论(market segregation)(3)流动性偏好理论(liquidity preference)该理论认为，远期利率等于市场整体对未来点利率的预期加上一个流动性溢价(liquidity premium)。之所以如此，是因为市场通常由短期投资者控制，对于这类投资者而言，除非远期利率相对于他们所预期的未来点利率有一个溢价，否则他们不愿意持有长期债券。,流动性偏好理论Liquidity Preference Theory,假定债券收益率曲线是平的如果你是存款者，你会选择哪个存期?如果你是借款者，你会选择哪个借期?,为了把借款者的需求和存款者的需求匹配，银行必然把长期利率提高到预期的未来利率之上上面的例子中，银行将改变利率结构,练习,Hull,page 97-984.24,4.25,4.27,4.28,
