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1、第三章 泊松过程,泊松过程定义泊松过程的数字特征时间间隔分布、等待时间分布及到达时间的条件分布复合泊松过程非齐次泊松过程,例如：电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数；火车站某段时间内购买车票的旅客数；机器在一段时间内发生故障的次数；,定义：称随机过程N(t),t0为计数过程，若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数，且N(t)满足下列条件：N(t)0;N(t)取正整数值以及0；若st，则N(s)N(t)；当st时，N(t)-N(s)等于区间(s,t中发生的“事件A”的次数。,计数过程,计数过程N(t)是独立增量过程,如果计数过程在不相重叠的时间间隔内，事件A发生的次数是相互独立的。,
2、计数过程N(t)是平稳增量过程,若计数过程N(t)在(t,t+s内（S0），事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时间差s有关，而与t无关。,定义3.2：称计数过程X(t),t0为具有参数0的泊松过程，若它满足下列条件：X(0)=0；X(t)是(平稳)独立增量过程；在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数0的泊松分布，即对任意s,t0，有,泊松过程同时也是平稳增量过程,表示单位时间内事件A发生的平均个数，故称为泊松过程的速率或强度,定义3.3：称计数过程X(t),t0为具有参数0的泊松过程，若它满足下列条件：X(0)=0；X(t)是独立、平稳增量过程；X(t)满足下列两式：,(2)
3、证明定义3.2和定义3.3是等价的。,泊松过程的数字特征,设X(t),t0是泊松过程，对任意的t,s0,)，且st，有,由于X(0)=0，所以,一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为,时间间隔Tn的分布,设X(t),t0是泊松过程，令X(t)表示t时刻事件A发生的次数，Tn表示从第（n-1）次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔。,定理3.2：设X(t),t0为具有参数的泊松过程，Tn,n1是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn是独立同分布的均值为1/的指数分布。,证明,即:对于任意n=1,2,事件A相继到达的时间间隔Tn的分布为,其概率密度为,所以,T1服从均值为1/的指数分布。,证明：,
4、所以,T2也服从均值为1/的指数分布。同理可以证明：对于任意的n=1,2,事件相继到达的时间间隔Tn也服从均值为1/的指数分布,等待时间Wn的分布,等待时间Wn是指第n次事件A出现的时刻(或第n次事件A的等待时间),因此Wn是n个相互独立的指数分布随机变量之和。,定理3.3：设Wn,n1是与泊松过程X(t),t0对应的一个等待时间序列，则Wn服从参数为n与的分布（也称爱尔兰分布），其概率密度为,证明,证明：,到达时间的条件分布,假设在0,t内时间A已经发生一次，我们要确定这一时间到达时间W1的分布。,到达时间的条件分布解：,到达时间的条件分布解：,分布函数,概率密度函数,设X(t),t0是泊松
5、过程，已知在0,t内事件A发生n次，求这n次到达事件W1W2,Wn的联合概率密度函数。解：,例题3.4设在0,t内事件A已经发生n次，且0st，对于0kn，求PX(s)=k|X(t)=n解：,例题3.5设在0,t内事件A已经发生n次，求第k(kn)次事件A发生的时间Wk的条件概率密度函数。,例题3.6设X1(t),t 0和X2(t),t 0是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为1和2，记 为过程X1(t)的第k次事件到达时间，为过程X2(t)的第1次事件到达时间，求,解：,非齐次泊松过程,允许速率或强度是t的函数,定义3.4：称计数过程X(t),t0为具有跳跃强度函数
6、(t)的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：X(0)=0；X(t)是独立增量过程；,非齐次泊松过程的均值函数为,定理3.5：设X(t),t0为具有均值函数 非齐次泊松过程，则有,或,例题3.8设X(t),t0是具有跳跃强度 的非齐次泊松过程（0），求EX(t)和DX(t)。,解:EX(t)=DX(t),例题3.9设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/时计算；5时至8时乘客平均到达率按线性增加，8时到达率为1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时从到达率1400人/时按线性下降，到21时为200人/时。假定乘客数在不相重叠时间间隔
7、内是相互独立的。求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。解：,复合泊松过程,定义3.5：设N(t),t0是强度为的泊松过程，Yk,k=1,2,是一列独立同分布随机变量，且与N(t),t0独立，令,则称X(t),t0为复合泊松过程。,N(t),Yk,X(t),在时间段(0,t内来到商店的顾客数,第k个顾客在商店所花的钱数,该商店在(0,t时间段内的营业额,设 是复合泊松过程，则若E(Y12)，则,例题：设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程，平均每周内有2户定居，但每户的人口数是随机变量，一户4人概率为1/6，一户3人概率为1/3，一户2人概率为1/3，一户1人概率为1/6，求5周内移民到该地区的人口的数学期望与方差。解：,则:,例题：设交换机每分钟接到电话的次数X(t)是强度为的泊松过程。求1、两分钟内接到3次呼叫的概率。2、第二分钟内接到第3次呼叫的概率。作业 3.1,3.3,3.5,
