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1、对随机现象进行的观察,1.1 随机事件,随机试验,随机试验有以下三个特点:,(),(),(),Ch1 随机事件与概率,或实验,称为随机试验,(重复性);,且在试验前可以明确,一切可能的结果的范围.,(明确性);,不能准确地预言,该次试验将会出现,哪一种结果,(随机性).,或试验.,试验的结果,是可观察的.,(可观察性);,可以在相同条件下重复进行,试验的结果不止一个,试验前,2.任取一个小时,3.掷两枚硬币,4.一天中任取一时刻,5.把一尺之棰任意截成三段,记录在该小时内,通过校门的,记录正反面出现的情况.,记录下某一地点当时的气温.,记录各段的长度.,车辆数.,例如:,1.掷一枚骰子,记录其
2、点数.,三、样本空间,随机试验的,例如:,1.掷一枚骰子,此随机试验的样本空间为:,均为样本点.,每一个可能的结果,记为.,称为样本空间.,记为.,记录其点数.,称为一个样本点,一个随机试验,的所有样本点是明确的,全体样本,点,构成的集合,1点,2点,3点,4点,5点,6点,或简记为,2.任取一个小时,此随机试验的样本空间为:,均为样本点.,记录在该小时内,通过校门的车,辆数.,0辆,1辆,2辆,3辆,或简记为,共有4个样本点:,(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),3.掷两枚硬币,此随机试验的样本空间为:,记录正反面出现的情况.,(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),4.
3、一天中任取一时刻,设此地当天的最低气温为a，,a,b中每个,有时候,记录下某一地点当时的气温.,最高气温为b,则此,随机试验的样本空间为:,数,作适当扩大.,如例4中,甚至可以取成,可把样本空间取为,可以把样本空间,为了数学处理方便,均为样本点.,5.把一尺之棰,此随机试验的样本空间为:,样本点,由以上例子可知,任意截成三段,记录各段的长度.,样本空间可以是,有限集或无限集;,可以是一维点集,或多维点集;,可以是离散点集,也可以是欧氏空间的,某个区域.,且,四、随机事件、,事件的集合表示,随机事件通常用字母,若试验后的结果,只含一个样本点的事件,样本空间,空集,样本空间中,满足某些条件的样本点
4、,构成的子集,称为随机事件，,简称为事件.,表示.,则称事件A发生;,则称A不发生.,叫基本事件,记为,因而也是事件,称为必然事件.,中不含中的任一元素,称为不可能事件,必然事件,在每次试验中,一定会发生.,不可能事件,在每次试验中,一定不发生.,若试验后的结果,也是它自己的子集,此随机试验的样本空间为:,基本事件有:,表示掷出偶数点*,表示掷出奇数点,表示点数小于5,表示掷出大于3的偶数点,“点数小于7”,“点数为负值”,例如:,掷一枚骰子,记录其点数.,为必然事件.,是不可能事件,一切事件,均可以分解为基本事件的并集，,而基本事件则不可再分.*,再如:,在征兵体检中,此随机试验的样本空间为
5、,为身高在1.75或以上,必然事件,从应征者中任选一人,测量,与不可能事件,在每次试验之前,都可以,准确预言,不具有随机性,不是随机事件,但为讨论,把它们看成是特殊的随机事件,作为随机,事件的两个极端情况.,其身高.,问题方便,随机试验,掷两颗骰子,例如:,掷三颗骰子,掷13颗骰子,事件都是相对于一定的,样本空间,随机事件,必然事件,不可能事件,“点数和小于13”,是必然事件.,是随机事件.,“点数和小于13”,是不可能事件.,“点数和小于13”,随机试验而言的.,六、事件间的关系及运算,1、事件的包含与相等,如果事件A发生,例如:,必然导致事件B发生，,即A中每,都属于B,则称A含于B，,或
6、B包含A.,任选一人,测量其身高.,记为,或,掷一枚骰子,记录其点数.,个样本点,事件的相等:,若,且,则称事件A与B相等.,例如:,掷一枚骰子,记录其点数.,A=“点数小于3”,记为,A,B,2、事件的和（并）,设A、B为两个事件，,例 掷骰子,=“点数小于3”,=“掷出偶数点”,=“点数小于3,它是由A,B中一切样本点,则事件,即事件,称为事件A与B的和,记为,或,共同组成的集合.,“A发生或者B发生”,或者为偶数”,“A与B至少一个发生”,(并),n个事件A1,A2,An,表示这 n个事件,可列个事件A1,A2,A3,表示这可列个事件,的和记为,的和记为,至少有一个发生.,一般地,至少有
7、一个发生.,A1,A2,A3,A4,3、事件的积（交）,则事件,它是由既属于A又属于B,例 掷骰子,=“小于3的偶数点”,即事件,称为事件A与B的积(交).,设A、B为两个事件，,“A与B都发生”,=“点数小于3”,=“掷出偶数点”,的样本点构成的集合.,记为,或,“A发生且B发生”,n个事件A1,A2,An,表示这n个事件,可列个事件A1,A2,A3,表示这可列个事件同时发生.,的积(交),的积(交),或,一般地,同时发生.,记为,记为,4、事件的差,则事件,例 掷骰子,它是由属于A,=“掷出偶数点”,=“点数小于3”,=“不小于3的偶数点”,两事件的差具有性质:,设A、B为两个事件，,“A
8、发生但B不发生”,称为事件A与B的差.,记为,但不属于B,的样本点构成的集合.,5、互斥 事件,若事件A与B,这时A与B没有公共的样本点.,例 掷骰子.,=“点数小于3”,=“点数大于4”,A,B互斥.,不同的基本事件,不能同时发生，,则称A与B互不相容,或互斥,即,是互不相容的.,（互不相容）,如果n个事件,如果可列个事件,则称这n个事件互不相容,中的任意两个,即,中任意两个,则称这可列个事件互不相容,或互斥.,或互斥.,都不相容,都不相容,6、对立事件,它是由样本空间中,则事件,例 掷骰子,=“点数大于3”,=“点数不大于3”,的对立事件是,对立事件满足关系:,设A是一个事件,即“非A”,
9、称为A的对立事件.,不属于A的所有样本点,构成的集合,“A不发生”,这事件,不发生,就是A发生,即,故称A与,互为对立事件.,“A不发生”，,两个对立事件,两个不相容事件,例如 掷骰子,A与B不相容.,但A与B不是对立事件.,=“点数小于3”,一定不相容.,未必是对立事件.,例,1)A,B都发生,或,2)A,B,C至少有一个发生.,3)A,B,C恰有一个发生.,4)A,B,C最多有一个发生.,5)A,B,C 都不发生.,6)恰有两个事件发生,7)最多有两个事件发生,8)至少有两个事件发生,试用A,B,C 表示下列事件:,C不发生.,或,或,或,*,设A,B,C为三个事件，,7、完备事件组,此时,当n=2时,例如,样本空间为:,构成一个完备事件组.,如果n个事件,两两,且,不相容,则称,是完备事件组.,必有一个发生,且仅有一个发生.,任选一个人,调查其生日.,“生日在 月”,表示,互为对立事件.,在每次试验中,如果可列个事件,两两不相容,则称这可列个事件,是完备事件组.,且,此时,必有一个发生,且仅有一个发生.,在每次试验中,七、随机事件的运算律,(1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,(6),(4)否定律,(5)对偶律,等等.,
