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1、1,由牛顿莱布尼兹公式知:计算定积分,因用凑微分法计算不定积分时自始至终没有引入新变量,故用凑微分法计算定积分时,也应自始至终不改变积分限.下面举例说明.,6.4 定积分的计算方法,一.凑微分法,第五章知求函数的原函数(即不定积分)的方法有凑微分法、换元法和分部积分法.因而在一定条件下,也可用这几种方法来计算定积分.,的关键在于求出(x)在a,b上的一个原函数F(x);而由,2,例11 计算,3,4,(1)在,上单调连续且具有连续导数;,(2)()=a,()=b,则,二.换元积分法,定理8 若(x)在a,b上连续,而 x=(t)又满足,证 设F(x)是(x)的一个原函数,5,此式称为定积分的换
2、元公式.,(3)求出,在应用换元公式计算定积分时,应注意以下几个问题:,(1)所选择的代换式x=(t)必须满足定理中的两个条件;,(2)换元积分的关键是换限.记住“上限对上限,下限对下限”;,求不定积分那样把(t)还原成 x 的函数,而只须直接将 t 的上、下限代入相减即可.,后,不必象,6,例12 当 a 0时,计算,7,注1 由几何意义知,此定积分,即为圆,8,在第象限的面积.,性质1 设(x)在a,a上连续,则,证,(1)若为(x)偶函数,则有(x)=(x),令x=t,则 d x=d t,且,9,从而,(2)若为(x)奇函数,则有(x)=(x),令x=t,则 d x=d t,且,从而,1
3、0,注2 利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的定积分的计算.,例13 计算,解(1)被积函数为奇函数.则原式=0.,令x=tanu,则,(2)被积函数为偶函数,故,11,例14.设,解 设x=t+2,则 t=x2,d x=d t,12,性质2 设(x)在0,1上连续,则,13,三.分部积分法,定理9 若u=u(x)及v=v(x)在a,b上有连续导数,则,14,证 因d(uv)=udv+vdu,两边积分得,注3,注4 用分部积分法计算定积分,因没有引入新的变量,故在计算过程中自始至终均不变限,u、v的选择与不定积分的分部积分法相同.,例15 计算,15,16,17,例16 设 在0,1上连续,求,解,
