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1、,二、环的运算性质,-环的运算性质,-子环,3.1环的定义与基本性质,一、环的定义,-环的定义,例2,三、子环的定义,-子环的充要条件,例5,四、子环的判别条件,例4,例3,例6,例7,-子环的判别条件,例9,例10,例8,例1,例11,一、环的定义,定义3.1.1 设 是一个非空集合.如果在上定义了,两个代数运算“+”(称为加法)和“”(称为乘法),并且,(R1)关于加法构成一个交换群;,满足:,(R2)乘法结合律成立,即对任意的 有,(R3)乘法对加法的两个分配律成立,即对任意,的 有,则称 为一个环(ring),或简称 为环.,注 在对环作进一步讨论之前,先对环的定义作,一些说明:,1.
2、由环的定义知 是一个交换群,称为环,的加法群.的加法单位元常用 表示,称为环 的零,元.环 的元素 的加法逆元称为 的负元,记作.,由群的性质可知,的零元及每个元素的负元都,是唯一的.,2.如果环 的乘法还满足交换律,则称 为交换,环（commutative ring）.,单位元（unity）.与群不同,一个环不一定有单位 元,但容易证明,如果环 有单位元,则单位元是惟一的.,4.设环 是有单位元 的环,.如果存在,使,则称 是 的一个可逆元(invertible element)或单位,(unit),并称 为 的逆元(inverse element).易知 如果,要注意的是,环的一个元素不一
3、定是可逆的.容易证明,可逆,则 的逆元是惟一的.可逆元 的逆元记作,对于一个有单位元的环，其所有可逆元组成的集合,关于环 的乘法构成群.这个群称为环 的单位群,(group of units),记作.,例1 设 规定 则 构成,环,称为零环.零环是惟一的一个有单位元且单位元,等于零元,并且零元也可逆的环.今后,如无特别声明,凡提到有单位元的环时,我们总假定这个环不是零环,因此环的单位元也就不等于零元.,例2 整数集、有理数集、实数集、复数,集 对于通常数的加法与乘法构成有单位元 的交换,环,分别称为整数环、有理数域、实数域、复数域(后,三个环称为域的原因见下一节例6).它们的单位群,分别是、和
4、.,例3 全体偶数的集合,对于通常数的加法与乘法构成一个没有单位元的交,换环.,例4 数域 上全体 阶方阵 的集合,关于矩阵的加法与乘法构成一个有单位元(单位矩阵),的非交换环,称为数域 上的 阶全矩阵环.这个环,的单位群是.,关于剩余类的加法和乘法构成有单位元 的交换环,称为模 剩余类环(residue class ring).这个环的单位,群是.,证（1）由1.2例2与例8知,剩余类的加法和乘,(2)对任意的，有,所以剩余类的乘法满足交换律.,(3)对任意的,有,所以剩余类的乘法满足结合律.,(4)对任意的,所以 为 的乘法单位元.,(5)对任意的,同理可得,所以两个分配律都成立.,由此可
5、知,构成一个有单位元的交换环.,由1.2例9可知,环 的单位群是,例6 设 是一个有单位元的交换环,为 上的,一个未定元.,是系数在 上的一元多项式的集合.按通常多项式的,加法和乘法定义 中的加法和乘法,则 按这样,规定的运算构成一个有单位元的交换环.,例7 设 为 个环.令,对任意的,规定,则 关于上面所定义的加法与乘法构成一个环.这个,环称为环的直和（direct sum）.,二、环的运算性质,定理3.1.1 设 是一个环,则,(1),(2),(3);,(4).,证（1）因为,由加法消去律得 同理可证:.,(2)因 是 的负元,所以 也是 的负元,即,(3)因为,所以 是 的负元,因此有,
6、同理可证:.,(4)由（3）得,对任意的,令,由此我们得到,移项法则:对任意的,有以下移项法则:,乘法对于减法还满足分配律:,倍数法则:对任意的,(1);,(2);,(3),(4).,指数法则:对任意的,(1);,(2).,注：如果 的元素 是不可逆的,则 与,通常是没有意义的.同时,当 时,等式,一般也不成立.,应用分配律,我们还可以得到下面的广义分配律:,(1)设,则对,有,(2)设,则,三、子环的定义,定义3.1.2设 是一个环,是 的一个非空,子集.如果 关于 的运算构成环,则称 为 的一个,子环(subring),记作.,注 1、如果,则 是 的子加群.,因此,的零元0就是 的零元,
7、中元素 在 中的,负元 就是 在 中的负元.,2、为 的子环，称为 的平凡子环.,四、子环的判别条件,定理3.1.2 设 是一个环,是 的一个非空子集.,则 是 的子环的充分必要条件是:,(2)关于 的乘法封闭.即对任意的,有,充分性 满足条件（1）与（2）,则“+”，“-”,都是 的代数运算.由（1）知 满足环的定义中的,条件(R1).又因为 满足条件结合率(R2)与分配率(R3),而,且 的运算就是 的运算,所以 也满足环,定义中的条件(R2)与(R3).,因此 是 的子环.,则 是 的子环的充分必要条件是:,定理3.1.3 设 是一个环,是 的一个非空子集.,(1)对任意的;,(2)对任
8、意的,例8 设 是一个整数.是 的任意,两个倍数.则 仍是,的倍数.所以 的倍数全体,构成整数环 的一个子环.易知,如果,则 是,一个没有单位元的环.这个例子告诉我们,即使一个,环有单位元,其子环也可能没有单位元.同样,即使一,个环没有单位元,其子环也可能有单位元.,例9 设 为 的子环.证明:存在惟一的非负,整数,使,证 存在性(1)如果 则取,有.,(2)如,则有,使.令,则，易知.又对任意,存在,使,因为,由 的选取知,故.所以.这就证明了存在性.,从而,惟一性 设,(1)如果,则,所以,从而,(2)如果,因为,所以.同理,所以.又因为,所以.,由这两个例子我们得到,整数环的所有子环是,例10 求 的所有子环.,解 设 为 的任一子环,则 是 的子加群.,由1.5推论2知,其中 可能的取值为:,即 有6个子加群(见下面),显然它们都是 的子环.所以 共有6个子环:,例11 设 为环.证明:,为 的一个子环.这个子环称为 的中心.,证(1)对任意,有,所以,.从而 是 的一个非空子集.,(2)对任意,有,所以.从而由定理3.1.1知.,参考文献及阅读材料,1数学百科全书(第四卷),北京:科学出版社,1999,2中国大百科全书数学,北京,上海:中国大百,科全书出版社,1988,3 王元,华罗庚,北京:开明出版社,1995,
