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1、称这种试验为有穷等可能随机试验 或古典概型.,定义1 若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同.,这样就把求概率问题转化为计数问题.,定义2 设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为：,称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法.,排列组合是计算古典概率的重要工具.,下面我们来介绍如何计算古典概率.,这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的,1.加法原理,设完成一件事有m种方式，,第一种方式有n1种方法，,第二种方式有n2种方法,；,第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法
2、都可以完成这件事，,则完成这件事总共有n1+n2+nm 种方法.,例如，某人要从甲地到乙地去,甲地,乙地,可以乘火车,也可以乘轮船.,火车有两班,轮船有三班,乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?,3+2 种方法,回答是,2.乘法原理,设完成一件事有m个步骤，,第一个步骤有n1种方法，,第二个步骤有n2种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，,例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？,可以有 种打扮,加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础.,四、古典概率计算举例,例1 把C、C、E、E、I、N、S
3、七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：,C,I,S,N,C,E,E,拼成英文单词SCIENCE 的情况数为,故该结果出现的概率为：,这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次.,解：七个字母的排列总数为7！,这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术.,具体地说，可以99.9%的把握怀疑这是魔术.,例2 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次
4、品的概率.,这是一种无放回抽样.,解：令B=恰有k件次品P(B)=？,次品,正品,M件次品,N-M件正品,解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法总数为,而出现事件A的分法数为n!,故,例3 n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每堆2只.问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的概率是多少？,例4：将一枚硬币抛掷三次。设事件A1为“恰有一次出现正面”，求P(A1)；设事件A2为“至少有一次出现正面”，求P(A2)。,解：设样本空间为S2，则 S2：HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT而 A1：HTT，THT，TTH S2中包含有限个元素，且每个基本事件发生的可能性相同。故由
5、古典概型计算公式，得 P(A1)=3/8 由于=TTT，于是,例5：将n只球随机地放入N(Nn)个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限)。解 这是古典概率问题。因每一只球都可以放人N个盒子中的任一个盒子，故共有种不同的放法，而每个盒子中至多放一只球共有N(N一1)N-(n一1)种不同放法。因而所求的概率为,“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.,1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.,需要注意的是：,在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.,2、
6、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.,例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？,下面的算法错在哪里？,错在同样的“4只配成两双”算了两次.,从5双中取1双，从剩下的 8只中取2只,例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？,正确的答案是：,请思考：还有其它解法吗？,2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.,3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：,有n个人，每个人都以相同的概率 1/N(Nn)被分在 N 间房的每一间中，求指定
7、的n间房中各有一人的概率.,3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：,有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365.求这n(n 365)个人的生日互不相同的概率.,3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：,有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车的概率为1/N(N n)，求指定的n个站各有一人下车的概率.,3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：,某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同.求每天恰好发生一次车祸的概率.,你还可以举出其它例子，留作课下练习.,这一讲，我们介绍了古典概型.古典概型虽然比较简单，但它有多方面的应用.,是常见的几种模型
8、.,箱中摸球,分球入箱,随机取数,分组分配,课下可通过作业进一步掌握.,早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的.,把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了几何概型.由此形成了确定概率的另一方法几何方法.,几何方法的要点是：,1、设样本空间S是平面上某个区域，它的面积记为(S);,2、向区域S上随机投掷一点，这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入S内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关.,3、设事件A是S的某个区域，它的面积为(A)，则向区域S上随机投掷一点，该点落在区域A的概率为,（*）,4、假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用（*）式确定，只不过把 理解为长度或体积即可.,示例见P11例1.11,考虑用一个天平称物时的误差，这个试验的结果就有无限多个，而且这些结果也不具有前述几何概率定义中的“等可能性”.,那么，如何知道误差落在某个范围内的概率呢？,对于这个问题，学了下一节后，我们就能回答了.,再如，一射手向一目标射击，“中靶”与“脱靶”一般不是等可能的，那么，又如何知道他中靶的概率呢？,
