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1、线性方程组的求解,中国青年政治学院 郑艳霞,使用建议：建议教师具备简单的MATHMATICA使用知识。课件使用学时：4学时面向对象：文科经济类本科生目的：掌握线性方程组的知识点学习。,假设在美国某一固定选区国会选举的投票结果用三维向量表示为,假设一次选举中结果为,确定下一次和再下一次可能结果。,每次选举得票情况的变化为,我们用上述类型的向量每两年记录一次国会选举的结果，同时每次选举的结果仅依赖前一次选举的结果。,对于给出的选举变化情况，我们可以用一个矩阵进行表达,一般地，总可以由这次的选举结果和下一次选举的转移情况得到下一次选举的结果：,于是下一次和再下一次可能结果为：,表示第j个党向第i个党
2、转移的比例,假设选举得票情况的变化是恒定P,问从现在开始经过多年若干选举之后,投票者可能为共和党候选人投票的百分比是多少？,若P是一个矩阵，满足各列向量均非负，且各列向量纸盒等于1，则相对于P的稳定向量必满足：Pq=q。可以证明每一个满足上述条件的矩阵，必存在一个稳定向量；并且，若存在整整数k，使得Pk0,则P存在唯一的向量q满足条件。,即方程组(P-I)x=0的解，就是我们需要的结果。,齐次线性方程组,1.齐次线性方程组（2）有解的条件,定理1：齐次线性方程组 有非零解,定理2：齐次线性方程组 只有零解,有解的条件解的性质基础解系解的结构,2.解的性质,（可推广至有限多个解）,解向量：每一组
3、解都构成一个向量,性质：若 是齐次线性方程组Ax=0的解，,则 仍然是齐次线性方程组Ax=b的解。,3.基础解系,线性无关；,证明分三步:,1.以某种方法找 个解。,注：,(2)证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。,(3)基（基础解系）不是唯一的。,称为通解。,4.解的结构,的通解是,最终大约有的选票被共和党人得到.,r(P-I)=23,解决我们的问题：,利用软件求解,因此齐次线性方程组的解为：,再由问题的实际意义可知：要求向量的各分量均非负，且满足：。因此只能取k0。再将求出的解进行归一，就得到了满足条件的解，此时的解是唯一的。,一栋大的公寓建筑使用模块建筑技术。每层楼的建筑设
4、计由3种设计中选择。A设计每层有18个公寓，包括3个三室单元，7个两室单元和8个一室单元；B设计每层有4个三室单元，4个两室单元和8个一室单元；C设计每层有5个三室单元，3个两室单元和9个一室单元。设该建筑有x层采取A设计，y层采取B设计，z层采取C设计。,（2）写出向量的线性组合表示该建筑包含的三室、两室和一室单元的总数。,（3）是否可能设计出该建筑，使恰有66个三室、74个两室和136一室单元？如可能的话，是否有多种方法？说明你的答案。,解答（1）表示当建筑x层采取A设计时，包括三室 单元，两室单元和一室的公寓数目。,（3）问题转化为：求非负整数x,y,z满足：,也就是非求齐次线性方程组 的解的问题。,非齐次性线性方程组,1.有解的条件,定理3：非齐次线性方程组,有解,分析:,3.解的结构,是（1）对应的齐次线性方程组 的通解。,2.解的性质,性质1：,性质2：,由此可得，因此该非齐次线性方程组有解，且基础解系含有一个向量。,进行计算：,利用软件求解,房屋设计问题的解答,由问题的实际意义可知，方程组通解中k可以取值为0、1。,房屋设计问题（3）的解答,即房屋的设计方案有两个：1.利用A设计的2层和B设计的15层2.A设计的6层、B设计的2层和C设计的8层。,
