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1、声子是真实的粒子吗？不是,是“准粒子”,一维双原子链的布里渊区,或 q 的取值范围是多大？,q 可以取多少个不同的值？怎样分布？N 个，在周期性边界条件下是均匀分布的,每个 q 对应几个格波解？分别称为什么？2个，声学波、光学波,3-4 三维晶格的振动,双原子链的模型已比较全面地表现了晶格振动的基本特征，这一节以对比双原子链的方法来说明三维晶格的振动,考虑原胞含有 n 个原子的复式晶格,n 个原子的质量为m1,m2,mn,原胞以 l(l1 l2 l3)标志,表明它位于格点,1.运动方程与振动模式数,原胞中各原子的位置用 表示,偏离格点的位移则写成,和双原子链的情形一样,可以写出一个典型原胞中的
2、运动方程,其中 k 标明原胞中的各原子,k=1,2,n.代表原子的三个位移分量,方程右端是原子位移的线性齐次函数,指数函数表示各种原子的振动都具有共同的平面波的形式,q 是其波数矢量,方程解的形式和一维完全相似，可以写成,A1(A1x,A1y,A1z),A2(A2x,A2y,A2z),可以是复数,表示各原子的位移分量的振幅和位相可以有区别,上式实际上表示了三维晶格格波的一般形式,同样可证明,代回运动方程后,得到以 A1x,A1y,A1z,Anx,Any,Anz 为未知数的 3n 个线性齐次联立方程,它的有解条件是 的一个 3n 次方程式,从而给出了 3n 个解 j(j=1,2,3n),具体分析
3、证明,当 q0 时,有三个解 jq,且对这三个解 A1,A2,An 趋于相同,也就是说在长波极限整个原胞一齐移动。这三个解实际上与弹性波相合,所以在三维晶格中,对一定的波矢 q,有 3 个声学波,(3n3)个光学波。或者说有 3 支声学波,(3n3)支光学波,另外(3n3)个解的长波极限描述 n 个格子之间的相对振动,并具有有限的频率,问题：铜晶体的格波有几支声学波，几支光学波？NaCl 晶体？金刚石？CsCl?,在三维情形 q 同样受到边界条件的限制，只能取某些值而不是任意的,常引入“q 空间”来表示边界条件所允许的 q 值,即把 q 看作空间的矢量,而边界条件允许的 q 值将表示为这个空间
4、中的点,2.玻恩卡曼边界条件与布里渊区,仍采用玻恩卡曼边界条件，在三维情况下,其中 a1、a2、a3 为晶格基矢,N1、N2、N3 为沿三个基矢方向的原胞数,显然有晶体总原胞数N=N1N2N3.(Rl)代表 Rl 格点上原胞的位移,边界条件表示,沿着 ai 方向,原胞的标数增加 Ni,振动情况必须相同(i=1,2,3),边界条件要求,h1、h2、h3为整数,因此,它们代表 q 空间均匀分布的点,每个点占据的 q 空间体积,考虑到倒格子原胞的“体积”与正格子原胞的体积之间的关系,可以得到边界条件允许的 q 在 q 空间均匀分布的密度：,V 为晶体的体积,从原子振动考查,q 的作用只在于确定不同原
5、胞之间振动位相的联系,具体表现在格波解中的位相因子,如果 q 改变一个倒格子矢量(n1,n2,n3为整数),则由于 是 2的整数倍,并不影响上述位相因子,这表示为了得到所有不同的格波,也只需要考虑一定范围的 q 值,例如可以只考虑一个倒格子原胞中的 q 值,在图中所示的倒格子中,可以把平行四边形原胞选为 q 的取值范围,对其它的 q 值在指定的原胞内总存在一个对应的 q,它们之间相差一个 Gn,因而对格波的描述没有任何区别,由于边界条件允许的 q 分布密度为 V/(2),因此不同 q 的总数应当是,和晶体中包含的原胞数目相同.对于每个 q 有 3 个声学波,(3n3)个光学波,所以不同的格波的
6、总数是,正好等于晶体 Nn 个原子的自由度。这表明,上述的格波已概括了晶体的全部振动模,但是把 q 的取值范围选为上述倒格子原胞并不是最方便的,通常是选为第一布里渊区(也称简约布里渊区),做由原点出发的各倒格子矢量的垂直平分面,由这些平面所围成的最小体积就是第一布里渊区,可以证明第一布里渊区的体积等于倒格子原胞的体积,第一布里渊区具有环绕原点更为对称的优点,j(q)作为 q 的函数称为晶格振动谱,或称为格波的色散关系,它可以通过实验的办法测量得到,也可以根据原子间相互作用力的模型从理论上进行计算,由理论与实验的比较中获得对相互作用力的认识,共价晶体、离子晶体、金属晶体、分子晶体等由于它们的原子
7、间相互作用力有着不同的特点,因而在格波的谱上也有着相应的特征,3.晶格振动谱,三维晶格还需要考虑原子位移方向与格波传播方向之间的关系,若沿着晶体的一个对称轴晶体绕这个轴转/2,或/3,2/3 是对称操作时,这时格波可以分为纵波和横波,纵波原子位移平行于波的传播方向;横波原子位移垂直于波的传播方向,而且包括两个频率简并的波,TA 表示横声学波,LA 表示纵声学波 TO 表示横光学波,LO 表示纵光学波,三维晶体中 q 是矢量,在作图时总是固定 q 的方向,一般选典型的对称轴的方向。分别画出 q 沿不同方向时j(q)的变化,由于金刚石结构中每个原胞含有两个原子,因而存在纵光学波和横光学波.TA,T
8、O 是两重简并的.可看出长声学波极限纵波和横波有不同的波速,长光学波极限,纵波与横波有相同的频率,硅的格波谱,GaAs 是族化合物,具有闪锌矿结构,它的格波谱与 Si 很相似,主要的区别在于 q=0 时纵光学波与横光学波的频率是不相同的,这是离子性的反映,离子性越强,两个频率之差越大,GaAs 的格波谱,Pb 的格波谱,金属 Pb,由于它具有面心立方晶格结构,只有声学波。在图中某些 q 值附近(q)函数出现扭折,这是因为这些 q 值的格波与金属中电子之间耦合特别强的结果,科恩(Kohn)1959年曾预言了与此有关的效应,称为科恩异常,三维晶格有 3n 个格波，其中 3 支声学波，(3n3)支光
9、学波,采用周期性边界条件,波矢 q 在倒空间均匀分布,取值范围选为第一布里渊区,共 N 个值(N 是原胞数),格波的总数为 3nN,等于晶体 Nn 个原子的自由度,3-4 三维晶格的振动小 结,不同结合方式的晶体由于原子间相互作用力的特点,格波谱上有相应特征,3-5 离子晶体的长光学波,一、长光学波的宏观运动方程,长声学波就是把晶体看成连续介质时的弹性波,弹性波满足在弹性理论基础之上建立的宏观运动方程,对长声学波原胞中所有原子的位移是相同的,它对应于弹性波中的位移量,弹性波中的密度可以用单位体积中的原子质量得到,黄昆首先提出了长光学波也可以在宏观理论的基础之上进行讨论,长光学波与长声学波不同,
10、正、负离子之间做相对运动,在 q0 的极限,实际上是正、负离子组成的两个格子之间的相对振动,质心不动,以立方晶体为例,每个原胞只含一对离子,质量分别用 M 和 M 表示。黄昆选择了 W 做为描述长光学波运动的宏观量,为约化质量,为原胞体积;、为正、负离子的位移,P 是宏观极化强度,E 是宏观电场强度,黄昆方程,而且建立了下面一对宏观的运动方程,第一个方程是决定离子相对振动的动力学方程,第二个方程表示除去正、负离子相对位移产生极化,还要考虑宏观电场存在时的附加极化,这里的系数不都是无关的，可以证明 b12=b21,首先考虑存在静电场情况下晶体的介电极化。在恒定的静电场下,令 为零,得到,代入另一
11、式中,从静电学知道,0 为真空介电常数,(0)为晶体的静电介电常数,比较两式得,以上的唯象方程中的系数都可以通过实验来确定,再看很高频电场情况下的介电极化,如果电场的频率远高于晶格振动频率有 W=0,得到,与介电常数的定义比较得到,()为晶体的高频介电常数,与 比较得到,下面讨论长光学振动时将看到,0 为横长光学波的频率,可以从晶格的红外吸收谱中测量得到,因而,二、长光学波的横波频率TO 与纵波频率LO,在考虑有带电粒子的晶格振动时,必须考虑它们之间的电磁相互作用,在这样的宏观理论中,把静电学方程与唯象方程的介电极化结合起来,就相当于考虑了电荷之间的库仑作用,往往只限于计算它们之间的库仑作用,
12、对于长光学波,可以用以上的唯象方程求解晶格振动,在立方晶体中长光学波有横波和纵波，其 W 可以分别用 WT 和 WL 表示,则有,电场满足静电方程,对黄昆方程第一式取旋度得到,可得,对黄昆方程第一式取散度得到,再对黄昆方程第二式取散度有,将 代入,得到,将 代入有,即,因此有,LST关系Lyddano-Sachs-Teller,由于一般来说静电介电常数(0)总是大于高频介电常数(),所以长光学纵波的频率 LO 总是大于长光学横波的频率 TO,这是因为在离子性晶体中长光学波产生极化电场,增加了纵波的恢复力,从而提高了纵波的频率,极化电场的大小显然是与正、负粒子的有效电荷量 q*有关,一般来说,有效电荷量越大,LO 与 TO 之差越大,可以用 来估算有效电荷量,对于非离子性晶体，如金刚石，系数 b12 为零，则有LO TO,GaAs的格波谱,硅的格波谱,
