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1、4.1 卷积4.2 傅立叶变换4.3 平滑频率域滤波器低通滤波器4.4 频率域锐化滤波器高通滤波器4.5 同态滤波器,第4讲 频率域图像增强,频率域和空域,频率域高频和低频在空域中的用模板滤波从效果上看和频率域中的高频和低频滤波的作用相似。空域和频率域的对应关系高频对应 快变部分低频对应 平缓部分空域与频率域之间的纽带卷积,卷积定义,空间滤波器线性滤波卷积方式表达：f(x,y)*h(x,y)这里的 h(x,y)相当于模板的响应函数w()卷积的定义对于一个线性系统的输入f(t)和输出h(t)，可以用卷积积分来说明他们的关系h(t)=g(t-)f()d 记为：h=g*f g(t)称为冲激响应函数,
2、二维卷积的定义 h(x,y)=f*g=f(u,v)g(x u,y v)dudv-离散二维卷积h(x,y)=f*g=f(m,n)g(x m,y n)m n,离散一维卷积 h(i)=f(i)*g(i)=f(j)g(i-j)j,卷积定理,卷积定理：如果 x(t)和 h(t)的傅立叶变换分别为 X(f)和 H(f),则x(t)*h(t)的傅立叶变换为 X(f)H(f)。即,空域和频域之间的基本联系卷积定理的描述空域中的卷积等价于频域中的相乘f(x,y)*g(x,y)F(u,v)G(u,v)Ff(x,y)*g(x,y)=F(u,v)G(u,v)即空域中的卷积可以用频域中的乘积的反傅立叶变换来获得同时有：
3、f(x,y)g(x,y)F(u,v)*G(u,v),4.1 卷积4.2 傅立叶变换4.3 平滑频率域滤波器低通滤波器4.4 频率域锐化滤波器高通滤波器4.5 同态滤波器,第4讲 频率域图像增强,傅立叶变换的引入,周期函数可以表示为不同频率的正弦和/或余弦和的形式非周期函数可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示这种情况下的公式就是傅立叶变换,傅里叶变换及其反变换1 一维傅里叶变换（1）连续形式 单变量连续函数f(x)的傅立叶变换F(u)可以定义为：,傅立叶反变换,（2）周期形式（傅里叶级数）,（3）离散形式,系数1/M也可以放在反变换前，有时也可在傅立叶正变换和逆变换前分别乘以(1/M)1
4、/2。但应注意：正变换和逆变换前系数乘积必须等于1/M。,（4）傅里叶谱,傅里叶幅度谱或频率谱,傅里叶相位谱,功率谱,2 二维傅里叶变换（1）连续形式,（2）离散形式,有一个2*2的图像，其中f(0，0)=3，f(0，1)=5，f(1，0)=4，f(1，1)=2，求该图像的傅里叶谱。,练习,3 傅里叶变换的性质（1）可分性（用于快速傅里叶变换）,（2）周期性（“周期卷绕”的基础）,（3）共轭对称性,频域中心化的基础,（4）平移性质,特例移中性：用于频域中心化操作,移中的变换：,移中的变换：,原图像f（x，y）,傅立叶频谱平移示意图(a)原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱
5、,移中性,4.1 卷积4.2 傅立叶变换4.3 平滑频率域滤波器低通滤波器4.4 频率域锐化滤波器高通滤波器4.5 同态滤波器,第4讲 频率域图像增强,频率域滤波,把空域的模板看作系统对图象的响应函数h(),g()=f()*h()滤波整个过程：对f(x,y),h(x,y)进行傅立叶变换变换得F(u,v)H(u,v)f()*h()F(u,v)H(u,v)的逆变换滤波作用在F(u,v)h(u,v)相乘中完成的频域滤波器低通滤波器高通滤波器同态滤波器,G(u,v)=F(u,v)H(u,v)F(u,v)是需要钝化图像的傅立叶变换形式H(u,v)是选取的一个滤波器变换函数G(u,v)是通过H(u,v)减
6、少F(u,v)的高频部分来得到的结果运用傅立叶逆变换得到钝化后的图像。,低通滤波器的基本思想,理想低通滤波器的定义一个二维的理想低通滤波器（ILPF）的转换函数满足（是一个分段函数）其中：D0 为截止频率 D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/2,理想低通滤波器的透视图图像显示、截面图,H(u,v)作为距离函数D(u,v)的函数的截面图,物理上不可实现滤除高频成分使图象变模糊整个能量的92%被一个半径为5的小圆周包含,大部分尖锐的细节信息都存在于被去掉的8%的能量中。小的边界和其它尖锐细节信息被包含在频谱的至多0.5%的能量中被钝化的图像被一种非常严重的振铃效果所影响,理想低
7、通滤波器的分析,一个截止频率在与原点距离为D0的n阶Butterworth低通滤波器（BLPF）的变换函数：,Butterworth低通滤波器的定义,Butterworth低通滤波器又称最大平坦滤波器它在带通和带阻之间没有明显的不连续，代替的是有一个平滑的过渡通常把H(u,v)下降到某一值的那一点定为截止频率D0,Butterworth低通滤波器的截面图等,H(u,v)作为D(u,v)/D0的函数的截面图,在任何经BLPF处理过的图像中都没有明显的振铃效果，这是滤波器在低频和高频之间的平滑过渡的结果尾部含有大量的高频成分（模糊减少）。而低通滤波是一个以牺牲图像清晰度为代价来减少干扰效果的修饰过
8、程,Butterworth低通滤波器的分析,理想低通滤波器VS Butterworth低通滤波器,理想滤波器,Butterworth低通滤波器,高斯低通滤波器,是指数低通滤波器,令=D0,则,高斯低通滤波器的传递函数等,三种低通滤波器的比较,ILPF有振铃,二阶BLPF微弱振铃,二阶GLPF无振铃,高斯LPF r=30 ILPF r=30,4.1 卷积4.2 傅立叶变换4.3 平滑频率域滤波器低通滤波器4.4 频率域锐化滤波器高通滤波器4.5 同态滤波器,第4讲 频率域图像增强,频率域锐化滤波器,对F(u,v)的高频成分的衰减使图像模糊低通滤波对高频成分的通过使图像锐化高通滤波高通和低通的关系
9、Hhp(u,v)=1-Hlp(u,v)即低通阻塞的频率是能够通过高通的,2,理想高通滤波器的定义一个二维的理想高通滤波器（ILPF）的转换函数满足（是一个分段函数）其中：D0 为截止频率 D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/2,1,理想高通滤波器的透视图、图像表示和横截面,理想高通滤波器的特点：1.衰减D0以内的频率完全通过D0以外的频率2.有振铃现象3.和背景接近的圆产生很弱的边（a边上3个园）4.a图横直的线条，小点都有失真（因为低频成分的保留较多），5.b,c图显现出对高频成分的过通：（1）小点变小，线变细；（2）低频的成分越多，在空间域表现为平缓部分保留越多。如a,
10、c中的白边等；（3）截止频率越高，平缓部分保留越少，只留下边6.c图更象高通,a,b,c,Butterworth高通滤波器的定义一个截止频率在与原点距离为D0的n阶Butterworth高通滤波器（BHPF）的变换函数如下,D0/D(u,v),BHPF透视图、图像表示和横截面,问题：低频成分也被严重地消弱了，使图像失去层次改进措施：加一个常数到变换函数 H(u,v)+A（高频强调）（+A的含义？）为了解决变暗的趋势，在变换结果图像上再进行一次直方图均衡化。这种方法被称为后滤波处理,Butterworth高通滤波器的分析,高斯型高通滤波器,是低频高斯滤波的反，所以上升较butterworth快，
11、即高频更丰富,GHPF透视图、图像表示和横截面,IHPF,BHPF,GHPF,GHPF更平滑,4.1 卷积4.2 傅立叶变换4.3 平滑频率域滤波器低通滤波器4.4 频率域锐化滤波器高通滤波器4.5 同态滤波器,第4讲 频率域图像增强,同态滤波器的引入,若物体受到的光照不匀，那么图像上较暗部分的细节就较难辨别如何能消除不匀性又不损失细节这就是本节讨论的问题,同态滤波器的基本思想,一个图像f(x,y)可以根据它的照度和反射分量的乘积来表示 f(x,y)=i(x,y)r(x,y)其中：i(x,y)为明度函数，r(x,y)反射分量函数通过同时实现压缩亮度范围和增强对比度，来改进图像的表现问题集中到如
12、果能把f(x,y)的两个分量在频率域能够分开，如果能分开问题就迎刃而解了,两个函数乘积的傅立叶变换不是可分离的，即：Ff(x,y)Fi(x,y)Fr(x,y)然而假设我们定义z(x,y)=ln f(x,y)=ln i(x,y)r(x,y)=ln i(x,y)+ln r(x,y)那么有：Fz(x,y)=Fln f(x,y)=Fln i(x,y)+Fln r(x,y)或Z(u,v)=I(u,v)+R(u,v)其中I(u,v)和R(u,v)分别是ln i(x,y)和ln r(x,y)的傅立叶变换,具体算法思路,用滤波器函数H(u,v)的方法处理Z(u,v)，有：S(u,v)=H(u,v)Z(u,v)
13、=H(u,v)I(u,v)+H(u,v)R(u,v)其中S(u,v)是结果图像的傅立叶变换在空域中：s(x,y)=F-1S(u,v)=F-1H(u,v)I(u,v)+F-1H(u,v)R(u,v),设：i(x,y)=F-1H(u,v)I(u,v)r(x,y)=F-1H(u,v)R(u,v)上页等式可以表示为：s(x,y)=i(x,y)+r(x,y),最后，通过i(x,y)和 r(x,y)的逆操作（指数操作）产生增强后的图像g(x,y)也即：g(x,y)=exps(x,y)=expi(x,y)expr(x,y)=i0(x,y)r0(x,y)其中i0(x,y)=expi(x,y)和r0(x,y)=
14、expr(x,y)是输出图像的照度和反射分量。g 0(x,y)=i0(x,y)r0(x,y),步骤小结：（1）（2）,3）压缩i(x,y)分量的变化范围，削弱I(u,v)，增强r(x,y)分量的对比度，提升R(u,v)，增强细节。确定H(u,v),同态滤波器的截面图,0,D(u,v),H(u,v),1,H(u,v)作为D(u,v)的函数的截面图,H,L,书上p153/（4.5.13)给出H(u,v)，其图形是图4.32,(4)反变换(5)指数变换,利用前述概念进行增强的方法归纳为：这个方法基于一类称作同态系统的特殊情况。,同态滤波器的效果分析图像的照度分量的特点是平缓的空域变化，而反射分量则近于陡峭的空域变化这些特性使得将图像的对数的傅立叶变换的低频部分对应于照度分量，而高频部分对应于反射分量尽管这种对应关系只是一个粗略的近似，但它们可以用于优化图像的增强操作一个好的控制可以通过用同态滤波器对照度和反射分量分别操作来得到这个控制要求指定一个滤波器函数H(u,v)，它对于傅立叶变换的低频和高频部分的影响是不同的,如果参数L和H的选取使得L 1前图所示的滤波器函数将减少低频部分、扩大高频部分，最后的结果将是既压缩了明度范围，又扩大了对比度。,同形过滤器的截面图,
