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1、自回归模型,水文序列的概率结构,水文地质随机方法,山西辛安泉泉域水文地质图,辛安泉多元回归模型,一、水文过程,辛安泉多元回归模型,二、一般数学描述,辛安泉多元回归模型,三、数学模型建立,辛安泉多元回归模型,Qt泉=a+b0Pt+b1Pt-1+b2Pt-2+b3Pt-3+b4Pt-4+bkPt-k+cQ开,当年降水量,前一年降雨量,前k年降雨量,四、数学模型讨论,水文过程,水文序列的构成：趋势成分+周期成分+随机成分+突变成分,张村驿水文站流量过程线,水文地质随机方法,水文序列分解,趋势分解,周期分解,随机序列,水文地质随机方法,自相关方法,时间,1000.00,1001.00,1002.00,
2、1003.00,1004.00,1005.00,1006.00,1007.00,1008.00,1009.00,1010.00,1011.00,1012.00,1013.00,1014.00,1015.00,1016.00,1017.00,1018.00,1019.00,1020.00,1021.00,1022.00,1023.00,1024.00,1025.00,1026.00,1027.00,1028.00,k=10,自相关系数函数：,自协方差函数：,自相关系数显著性检验,，接受原假设，R1=R2=R k=0。,，拒绝原假设，存在与零有显著性差异的自相关系数。,纯随机序列自相关图,如果一个
3、时间序列x 1，x 2，x t，x n完全由随机数组成，那么，当n相当大时，它所有的自相关系数r1，r2，r k都近似地等于零。,纯随机序列,显著水平,无趋势序列自相关图,自相关系数r1比较大，与零有显著性差异，而r2要比r1小，r3要比r2小，剩余的自相关系数都与零没有显著性差异。,非平稳序列自相关图,非平稳时间序列存在着趋势的影响，它的自相关系数r1最大，r2，r3，逐渐递减。但是，仍有相当数量的自相关系数与零有显著性差异。,周期序列自相关图,自相关系数以固定的频率出现高峰,随机序列的统计特征,数学期望函数：,方差函数：,自协方差函数：,自相关系数函数：,数字特征,平稳时间序列与各态历经性
4、,统计性质不随时间原点的推移而变化的时间序列称平稳时间序列。,常数,时移k的函数,如果实测数据序列的样本曲线可以作为这个随机过程的数字特征的充分依据，称此数据序列是各态历经的。以后的讨论都假设样本数据具有各态历经性，实测数据序列可以反映整个水文过程的特征。,回归模型,利用水文序列观测数据之间的依赖关系，揭示这个序列的随机变动规律。,将实测序列x1，x2，xn分为两组：,x2，x3，xn,x1，x2，xn1,回归分析的方法，建自回归方程：,如果模型正确，则意味着一下两方面的含义：,1、在xt与xt-1平面内，各点应散布在一条通过原点的直线附近，即保证xt与xt-1之 间的线性相关性。,2、t是满
5、足正态分布的纯随机变量，表示xt完全回归于xt-1。,自回归模型,1、自回归模型的一般形式为：,称为p阶自回归模型，常记为AR(p)。,t-表示测量过程中存在的随机干扰和未来预报中出现的误差；p-为模型的阶数，反映滞后时间的最大值。,-为模型回归系数，反映不同时移i条件下的权值。,自回归模型,2、数据标准化（或中心化）,对序列x1，x2，xn作变换，,经标准化后的时间序列的均值=0，方差1，相关系数等于协方差。,称标准化处理。,自回归模型,3、自回归模型,自回归模型系数计算：,问题：模型阶数p=？,4、自回归系数计算,1967年，Burg给出了计算自回归系数的公式：,j=1，2，k,用Burg
6、公式计算自回归系数比解线性方程组求回归系数，计算工作量要小很多。,模型阶数确定,1）偏自相关系数法,偏自相关系数是指一个自回归模型AR(p)的最后一个自回归系数：,对于p阶自回归模型，当kp时，偏相关系数,在理论上应当为零。,2）模型识别的AIC准则,AIC是Akaike（赤池弘次）Information Criterion的缩写。,对ARMA(p，q)模型，AIC准则量化的公式为：,n 为实测序列的长度；,为残差的方差。,模型识别时要求：,一般而言、模型参数越多，拟合效果越好(拟合残差越小)。然而，随着参数的增多，需要的信息量亦随之增加。在信息量一定的情况下，参数越多，参数的估计误差越大，获
7、得的模型越不可靠。,AIC准则识别AR(p)模型的步骤,1、计算样本序列的自相关系数rk：,k=1，2，p,2、递推计算自回归系数：,3、计算残差的方差：,4、根据阶数 k 计算 AIC(k)：,5、选择k0，使AIC(k0)达到最小值，模型的阶数p=k0。,模型检验,1、计算t的样本序列,基本假定：AR(p)模型的随机项t相互独立,（1）还原标准化变量,（2）建立自回归模型：,（3）反求随机项t：,得t的样本序列为：1，2，n。,2、残差独立性检验,根据残差1，2，n的自相关系数r1()，r2()，rk()，做残差的自相关图。,若r1()，r2()，rk()落在虚线之间，认为各阶自相关系数与零无显著差异，残差1，2，n是纯随机变量，模型通过检验。,构造统计量：,若t为独立序列，则Q渐近服从自由度为(m-p)的2分布。式中m其取值一般在n/4左右，称最大滞时。,
