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1、第四章 虚功原理,D,F,A,F,一、实功与虚功,1、功是力与位移的乘积。,（1）实位移：位移是由作功的力引起的。力在实位移上所作的功称为实功。,（2）虚位移：位移是由其它因素力引起的。力在虚位移上所作的功称为虚功。,注意：这里的虚功、实功都是真实的作功，只是区别两种形式的位移。,2、叠加原理的适用性（功计算）,实功,虚功,实功计算叠加原理不适用,虚功计算叠加原理适用,二、外力虚功,外力系总虚功：,式中：,作功的两因素,广义力：,广义位移：,集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、一个力系,线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、一组位移,几种简单外力（系）虚功计算,集中力、集中力偶、均布荷载,等
2、值反向共线的两集中力,等值反向共面的两集中力偶,平衡力系在刚体位移上的虚功,1、集中力的虚功,静力状态（k）,位移状态（m）,2、集中力偶的虚功,静力状态（k）,位移状态（m）,3、均布力的虚功,静力状态（k）,位移状态（m）,4、等值反向共线的两集中力的虚功,静力状态（k）,位移状态（m）,5、等值反向共面的两力偶的虚功,静力状态（k）,位移状态（m）,6、平衡力系在刚体位移上的虚功,刚体虚位移原理：平衡力系在刚体虚位移过程中所作的虚功为零。,三、变形虚功,静力状态（k）,位移状态（m）,微段,第i根杆件,平面杆系结构,四、虚功原理,虚功原理：设有一变形体系，分别承受一力系和位移系两个彼此独
3、立因素作用，其静力平衡和位移协调的充要条件是力系中外力经位移系中的位移所作的虚功恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的虚功和。,即：,虚功原理适用范围：刚体体系、弹性、非弹性、线性、非线性的变形体系均可适用。,虚功方程,平面杆系结构 虚功方程,虚功原理两种应用形式：,虚位移原理：单位位移法，虚设位移状态求力。,虚力原理：单位荷载法，虚设静力状态求位移。,几何方法解决静力问题,静力方法解决几何问题,虚位移原理,虚力原理,静力状态（k）,真实、未知,虚设、已知,位移状态（m）,虚设、已知,真实、未知,平衡条件（求力）,位移协调条件（求位移）,五、虚位移原理与单位位移法,虚位移原理：变形体系在力系作
4、用下平衡的充要条件是当有任意的位移协调系（虚位移）时，力系中外力经位移系中的位移所作的虚功恒等于变形体系各微段内力在变形位移上的虚功和。,单位位移法,求解步骤：,（1）解除约束代之以约束力，建立静力状态（k）；（2）沿所求约束力的方向给以单位位移，建立协调的位移状态（m）；（3）用“m”状态考察“k”状态的平衡条件，建立虚功方程，求解未知力。,例题1,静力状态（k）,位移状态（m）,可直接用平衡方程验证。,几何方法解决静力问题。,静力状态（k）,位移状态（m）,相对转角位移,可直接用平衡方程验证。,几何方法解决静力问题。,六、虚力移原理与单位荷载法,虚力原理：变形体系在任意外来因素作用下其位移
5、系协调的充要条件是当有任意虚拟的静力平衡系时，力系中外力经位移系中的位移所作的虚功恒等于变形体系各微段内力在变形位移上的虚功和。,单位荷载法,求解步骤：,（1）沿所求位移的方向加以对应的单位虚力，建立静力状态（k）；（2）求解静力状态（k）中力；（3）用“k”状态考察实际的位移状态“m”的协调性，建立虚功方程，求解未知位移。,例题2,静力状态（k）,位移状态（m）,可直接用几何方法验证。,静力方法解决几何问题。,七、互等定理,虚功互等定理、位移互等定理、反力互等定理、反力位移互等定理,1、虚功互等定理,k状态（静力）,m状态（位移）,虚功原理,1、虚功互等定理,k状态（位移）,m状态（静力）,
6、虚功原理,1、虚功互等定理,k状态,m状态,写成一般形式：,即有：,虚功互等定理：k状态的力因m状态的位移所作的虚功 等于m状态的力因k状态的位移所作的虚功,2、位移互等定理,k状态,m状态,虚功互等定理,位移互等定理：沿k方向的单位力在m方向引起的位移 等于沿m方向的单位力在k方向引起的位移,3、反力互等定理,k状态,m状态,虚功互等定理,反力互等定理：k支座发生单位位移在m支座引起的反力 等于m支座发生单位位移在k支座引起的反力,4、反力位移互等定理,k状态,m状态,虚功互等定理,反力位移互等定理：沿k方向的单位力在m支座引起的反力 等于m支座发生单位位移时在k方向引起的位移，但符号相反,
