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1、问题的提出：试绘制如图所示机件的三视图？,第六章 平面、直线与立体相交,6.4 直线与立体相交,6.1 平面与立体相交概述,6.2 平面与平面立体相交,6.3 平面与曲面立体相交,6.1 平面与立体相交概述,一、概述二、截交线的求法三、圆柱、圆锥、球的截交线,一、概述,在一些零件的表面上常常见到平面与零件表面相交的情况。,这种平面与立体相交，可看作是立体被平面所切割，平面P称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线，截交线所围成的平面图形称为截断面。,（1）截交线是封闭的平面图形,（2）截交线是截平面与立体表面的共有线，其上的点是截平面与立体表面共有点。,截交线的性质：,二、截交线的求法,(
2、1)辅助平面法,在应用此法时，应注意选择辅助平面，以使它与曲面的交线最简单易画（直线或圆）。,三面共点的原理，所作辅助平面与曲面交于一条曲线，而与截平面交于一条直线，所得曲线与直线的交点则为截平面与曲面交线上的点。利用此法可求得截交线上的一般点或某些特殊点。,二、截交线的求法,对于平面立体则运用直线与平面相交求交点及两个平面求交线的方法，求出各棱线与截平面的交点，或各棱面与截平面的交线连接而成。,(2)表面取点法,利用立体表面在投影面上的投影有积聚性的特点求之.,平面截切平面立体，在平面立体表面留有的交线，称为平面立体的截交线。,平面立体截交线的形状是由直线段围成的平面多边形。,一、平面立体体
3、截交线的性质,平面立体截交线是截平面与平面立体表面的公有线。,平面多边形的顶点是平面立体棱线与截平面的交点，边是截平面与平面立体各表面的交线（截交线段）。,62 平面与平面立体相交,二、平面立体截交线的求法,1、线面交点法,2、面面交线法,将平面立体上参与相交的各条棱线与截平面求交点，并将位于立体同一棱面上的两交点依次连接起来，即为所求平面立体的截交线。,将平面立体上参与相交的各棱面与截平面求交线，这些交线即围成所求的平面立体截交线。,三、求截交线的作图步骤,1)空间分析及投影分析,2)画出截交线的投影,a、截平面与立体的那几个表面相交,确定截交线的形状（多少截交线段）,确定截交线的投影特性（
4、积聚性）,b、截平面、立体表面是否具有积聚性,运用线面交点法（棱线法）或面面交线法（棱面法），分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。,3)整理立体的棱线投影,作图：作出三棱锥的棱线SA、SB、SC与截平面P的交点、的V面投影1、2、3。,根据点的投影规律求出H、W面投影1、2、3和1、2、3。,依次连接各交点的同面投影即为所求。,可用换面法求得截断面的实形。,解 因截平面P为正垂面，故截平面的正面投影积聚在PV上，H面和W面截交线可利用求三棱锥各棱线与截平面交点来求。,【例1】三棱锥被所截，完成截交线的投影及截断面实形,【例2】完成五棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。,1、空间分析,2、
5、投影分析,3、投影作图,4、整理图线,截交线为平面五边形，对V面具有积聚性,截平面为正垂面，截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，要求的是截交线的水平投影和侧面投影。,5,【例3】求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。,6,25,1,3,4,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,56,【例4】求立体切割后的投影,1,6,【例5】求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。,1、空间分析,立体表面交线的形状？空间10边形,2、投影分析,截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上；,1,2,10,6,水平截平面截切的交线平行于四棱锥对应底边；,侧平截平面截切的交线平行于四棱锥前后棱线。,3、投影作图,4、
6、整理图线,【例6】完成四棱台上部开槽后的水平投影和侧面投影,空间分析,水平截平面与四棱台四各棱面相交，交于四条边；两个侧平截平面均与四棱台三个面相交，分别交于三条边；截平面之间有二条交线；,910,整理棱线投影,【例7】求立体截割后的投影,【例8】求八棱柱被平面P截切后的俯视图。,P,1,5,4,3,2,8,7,6,2367,18,4 5,1,5,4,7,6,3,2,8,一、曲面立体截交线性质,6-3 平面与曲面立体相交,二、曲面立体截交线的求解方法和步骤,三、圆柱截的交线,四、圆锥截的交线,五、球的截交线,六、圆环的截交线,七、复合体的截交线,平面截切曲面立体，在曲面立体表面留有的交线，称为
7、曲面立体的截交线。,一、曲面立体截交线性质,1、截交线是截平面与曲面立体表面的公有线。截交线上的点为截平面与曲面立体表面的公有点。,2、截交线的形状通常为平面曲线，特殊情况下可含有直线段组成。是封闭的平面图形。截交线的形状取决于曲面立体表面性质和截平面与曲面立体的相对位置。,6-3 平面与曲面立体相交,二、曲面立体截交线的求解方法与步骤,1、表面取点法,利用截平面的积聚性和曲面上表面取点法来求截交线的另两个投影。,条件：截平面具有积聚性，从而相当于已知一截交线的一个投影。,2、辅助平面法,利用三面共点的原理来求。,二、曲面立体截交线的求解方法与步骤,1、截交分析,a)截平面和立体表面的积聚性;
8、b)截交线段的多少；c)截交线的对称性；d)截交线在各投影面上的可见性。,2、求特殊点,包括：极限位置点（最高、最低、最前、最后、最左和最右点）和转向轮廓线上的点。,3、求一般点,用表面取点法或辅助平面法求足够多的一般点,4、整理曲面立体轮廓线,检查曲面立体被截切后的轮廓素线。擦除被截掉部分的投影，判别截交线的可见性，光滑连接截交线。,三、圆柱的截交线,【例9】完成圆柱体截切后的侧面投影。,【例10】补画出立体的左视图,2.作左切面上的投影,1.作圆柱的左视图,3.作下部通槽的投影,4.判别可见性,5.整理并擦除多余的线,完成作图.,【例11】完成圆柱体被截切后的水平投影和侧面投影。,1、空间
9、分析,分析截平面与立体的相对位置水平面截切，截交线为矩形；侧平面截切为圆弧。,2、投影分析,分析截平面与投影面的相对位置。,3、投影作图,4、整理轮廓素线,截交线的正面投影落在水平截平面和侧平截平面的积聚性投影上；,截交线的侧面投影落在圆柱面和水平截平面的积聚性投影上；,分 析：该立体是在圆柱筒的上部开出一个方槽后形成的。构成方槽的平面为垂直于轴线的水平P和两个平行于轴线的侧平面Q。它们与圆柱体和孔的表面都有交线，平面P与圆柱的交线为圆弧，平面Q与圆柱的交线为直线，平面和Q彼此相交于直线段。,【例12】补画被挖切后立体的投影。,作图步骤如下：,（1）先作出完整基本形体的三面投影图。,（2）然后
10、作出槽口三面投影图。,（3）作出穿孔的三面投影图。,【例13】作出圆柱体被截切后的水平投影。,1、空间分析,分析截平面与圆柱体轴线的相对位置，确定截交线的形状椭圆。,2、投影分析,截交线的正面投影和侧面投影分别落在截平面和圆柱面的积聚性投影上，要求的是截交线水平投影。,3、投影作图,4、整理轮廓线,【例14】分析圆柱体截交线为椭圆的投影特性,1、当45截交线椭圆的长轴投影后，仍为投影椭圆的长轴；,2、当45截交线椭圆的长轴投影后，成为投影椭圆的短轴；,3、当45截交线椭圆的长轴投影后，与短轴相等，椭圆的投影成为圆；,【例15】求圆柱截交线,解题步骤1分析 截交线为矩形、椭圆及圆和直线的组合；截
11、交线的水平投影为已知，侧面投影为矩形、椭圆和直线的组合；2求出截交线上的特殊点、；3求一般点；4 顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。,四、圆锥面的截交线,【例16】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。,1、空间与投影分析,截交线为椭圆，截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，要作出椭圆的水平投影和侧面投影。,2、投影作图,运用锥面取点方法作出椭圆长短轴端点、转向轮廓线上点和一般点，用曲线光滑连接各点。,3、整理轮廓线,【例17】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。,1、空间与投影分析,截交线形状为抛物线。抛物线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，求作抛物线的水平投影和
12、侧面投影。,2、投影作图,运用锥面取点方法作出抛物线顶点和底端点、转向轮廓线上点和一般点，用曲线光滑连接各点。,3、整理轮廓线,【例18】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。,1、空间与投影分析,截交线为圆弧和两根直线段，两截平面间有一条交线。截交线的正面投影落在截平面的正面积聚性投影上，求作截交线的水平投影和侧面投影。,2、投影作图,截交线圆弧的水平投影反映圆弧的实形。,3、整理轮廓线,作图：作出俯、左视图中的中心线及圆锥的投影。作出水平面Q截锥的交线圆K。定出它与正垂面P的交线。连S1、S2、S1、S2，即得正垂面P截锥的交线S、S。作出侧平面截锥的双曲线。先作出平面Q与R的交线，则为所求
13、双曲线上的的两个最高点。再作出锥底与R平面的交线，则此两点为双曲线上的最低点。然后在Q和底面之间作适当的辅助水平面求出若干个一般点，。连接各点即得双曲线的投影。判别可见性，完成全图。,【例19】试完成带缺口圆锥的俯、左视图,【例20】完成圆锥截穿孔后的水平投影和侧面投影。,1、空间与投影分析,截交线为圆弧、椭圆弧和直线段组成的空间曲线，三条截平面间的交线。截交线的正面投影落在截平面的正面积聚性投影上。,2、投影作图,分别求解各个截平面的截交线，截交线上的点可运用锥面取点方法获得。,3、整理轮廓线,浏览三维动画,五、球的截交线,【例21】完成圆球截切后的水平投影和侧面投影。,【例22】完成半球被
14、截切后的水平投影和侧面投影。,【例23】求圆球截交线,【例24】求圆球截交线,1,2,六、平面与圆环相交,平面与圆环相交时，截平面与圆环面的相对位置不同，截交线的形状亦不相同。当截平面垂直于圆环轴线或通过圆环圆环轴线截切时，截交线为圆；当截平面处于其它位置时，截交线一般为一条或两条封闭的平面曲线。可用辅助平面法求得圆环的截交线。,解 正平面截切圆环，截交线的V面投影反映实形，是封闭的平面曲线，其H面投影积聚在PH上。作图：求作特殊点。点、分别是最左、最右点，H面投影在PH与转向轮廓线相交处，由1、2求得1、2；点、为最高点，点、为最低点，由H面投影3、4、（5）、（6）求得3、4、5、6；点、
15、是内环面上的点，用辅助圆法由7、（8）求得7、8。求作一般点。如选取、四点用辅助平面Q1和Q2求点的V面投影。,【例25】圆环被正平面P所截，求截交线的V面投影,组合回转体通常由多个基本回转体组合形成，求解这类形体截交线时，应首先分析组合回转体是由哪些基本回转体组成，以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。,七、组合回转体的截交线,【例26】试求回转面被正平面所截的截交线。,【例27】试完成图示连杆头的截交线投影。,解 连杆头是由圆柱面、内环面和球面组成的同轴复合回转体，被前后两个对称的正平面P1、P2所截而成。其截交线是由截球所得的交线圆弧与截圆环所得的一般曲
16、线组合而成。其分界点、处在环与球的分界圆上，即在过正视转向线两圆弧的切点a所作垂直于连杆头轴线的圆周上。由于截平面前后对称，其截交线的正面投影前后重合且反映实形，其余投影积聚成直线，且与截平面的相应投影重合。,作图：,作图：,【例28】试完成顶尖截交线的投影,首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。,【例29】求作顶尖的俯视图,【例30】求组合立体截切后的水平投影和侧面投影。,【例31】完成组合回转体截切后的正面投影。,6-4 直线与立体相交,1、贯穿点直线与立体表面的交点,2、贯穿点的性质,1）既属于直线，又属于立体表面,
17、2）成对出现,3、求法,直线与平面立体相交，相当于直线和平面相交；直线与曲面立体相交，则用辅助平面法,4、求解步骤：,1）包含直线作辅助平面,2）求辅助平面与立体的交线,3）求交线与已知直线的交点,【例32】直线与棱柱、圆柱的贯穿点,1,2,1,2,a,b,a,b,1,1,2,a,b,a,b,2,【例33】求直线与三棱锥的交点,解 采用辅助平面法求解。包含直线L作正垂面PV。求出P与棱锥的截交线。求出123与L的交点a、b，由a、b找出a、b，则A、B为所求的贯穿点。判别可见性。如图所示，显然两贯穿点A、B之间的一段为立体里面的线不必画出。其余部分，则由于A、B所处的平面SCD、SDE的H、V
18、面投影均为可见，故其余部分亦为可见。,作图：,【例34】求直线与圆锥的交点。,解 由于圆锥的投影均无积聚性，故只能用辅助平面法求其交点。显然，包含直线L作通过锥顶S的一般位置平面P为辅助面，其作图最为简单。该辅助平面与锥面交于两条素线S、S，它们与L的交点A、B即为所求的贯穿点。,作图：包含直线L作辅助平面P 在直线L上任取两点(1,1)、（2，2），连S、S即定出平面P。求出水平迹点M1（m1、m1）、M2（m2、m2），连M1、M2为迹线PH。求P与锥面的交线S（S3、S3）和S（S4、S4）。求出交线S、S与直线L的交点A（a、a）和B（b、b）即为所求。判别可见性，如图所示。,作图：,a,(a),在圆柱体表面的线和点，可利用圆柱面的积聚性求解。,圆柱体表面上的线和点,表面取点法,任意回转面的截交线,
