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1、数学贷款买房问题,一、抵押贷款买房问题,相关背景,名流花园 用薪金,买高品质住房 对于大多数工薪阶层的人士来说,想买房,简直是天方夜谭.现在有这样一栋:自备款只需七万人民币,其余由银行贷款，分五年还清.相当于每月只需付1200人民币。那么,这对于您还有什么问题呢?,谁都希望有一套属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。,下面是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告.,任何人看了这则广告都会产生许多疑问，且不谈广告上没有谈住房面积、设施等，人们关心的是：,如果一次付款买这套房要多少钱呢？,银行贷款的利息是多少呢？,为什么每个月要付1200元呢？,是怎么算出来的
2、？,分析与建模,需要借多少钱，用 记;,月利率用记R（贷款通常按复利计）;,每月还多少钱用x记；,借期记为N个月。,而一开始的借款为，所以该问题可用数学表达式表示如下,（1.1）,因为我们都知道，若知道了一次付款买房的价格，如果自己只能支付一部分款，那就要把其余的款项通过借贷方式来解决，只要知道利息，就可以算出5年还清，每月要付多少钱才能按时还清贷款，从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子做出决策了。,若用 记第k个月时尚欠的款数，则一个月后（加上利息）欠款，不过又还了x元所以总的款数为,由,递推得,故,这就是，x，R 之间的显式关系，是迭代关系（1.1）的解。,针对广告中的情形，N=5年
3、=60个月，每月还款x=1200元，已知。,但 即一次性付款购买价减去70000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你.,此外银行贷款利率R也没有告诉你，这造成决策的困难.,然而，由（1.2）可知60个月后还清，即=0，从而得,（1.3）,例如，若R=0.01，则由（1.3）式子可算得=52946元。如果该房地产公司说一次性付款的房价小于70000+53946=123946元的话，你就应自己去银行贷款。,事实上，利用Maple等数学软件可把（1.3）式的图形画出来，从而可进行估算决策。,（1.3）式表示N=60，x=1200给定时 和R之间的关系式，如果我们已经知道银行的贷款利息R，就可以算出
4、。,例1 某校一对年轻夫妇为买房要用银行贷款60000元，月利率0.01，贷款期25年=300月，这对年轻夫妇希望知道每月还多少钱，25年后就可以还清，假设这对夫妇每月可有节余700元，是否可以去买房呢？,解：现在的问题就是要求使得=0的x，由（1.2）式知,现在=60000，R=0.01，k=300，利用Maple等数学软件，容易算得x=632元700元，着说明该夫妇有买房能力。,例二：恰此时这对夫妇看到某借贷公司的一则广告：“若借款60000元，22年还清，只要,解 先就（i）（ii）两条作一个粗略的分析，可先独立分析（i）和（ii）看看能否缩短归还期。,分析（i），这时 A0=60000
5、不变，x=316，月利率变为半月利率可粗略地认为刚好是原R的一半，即R=0.005（这样取R 是否合理？请思考实际情况是怎么样的）于是由（1.2）式求出的归还期N，即由AN=0求N，利用Maple 数学软件可解得,（i)每半个月还316元;,（ii）由于文书工作多了的关系要你预付3个月的款，即316*6=1896元。,这对夫妇想：提前3年还清当然是好事，每半个月还316元，那一个月不正好是632元，只不过多跑一趟去交款罢了；要预付1896元，当然使人不高兴，但提前3年还清省下来的钱可是22752元哟，是1896元的十几倍啊！这家公司是慈善机构呢还是仍然要赚我们的钱呢？这对夫妇请你给他们一个满意
6、的回答。,即M=598（半个月）=24.92年，即只能提前大约1个月还清。由此可见，该借贷公司如果只有第1个条件的话，那他只能是慈善机构了。,当然在实际生活中的贷款买房问题要复杂的多，但上述问题的数学方法仍然具有指导性。,分析（ii），这时=60000-1896=58104，这时你只借仂8104元，而不是60000元，可以按问题中银行贷款的条件算一算，即令x=632元（每月还款），R=0.01（月息），求使得=0的N，来看看能否提前还清。,用Maple数学软件，计算得N=21.09年，即实际上提前近四年就可还清，,该公司只要去同样的银行贷款，即使半个月收来的316元不动，再过半个月合在一起去交
7、给银行，它还可坐收第22年的款近7000元，更何况它可以利用收到的贷款去做短期（半个月内）的投资赚取额外的钱，,当你把这种初步分析告诉这对年轻夫妇后，他们一定会恍然大悟，从而作出正确的决策！,贷款买房问题的进一步讨论,等额本息法 等额本息是指一种购房贷款的还款方式，是在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息)。前面我们推导的就是等额本息法的公式。每月还款额计算公式如下：贷款本金月利率（1+月利率）还款月数（1+月利率）还款月数1 假定借款人从银行获得一笔20万元的个人住房贷款，贷款期限20年，贷款月利率4.2，每月还本付息。按照上述公式计算，每月应偿还本息和为1324.33元。上述结
8、果只给出了每月应付的本息和，因此需要对这个本息和进行分解。仍以上例为基础，一个月为一期，第一期贷款余额20万元，应支付利息840.00元（2000004.2），所以只能归还本金484.33元，仍欠银行贷款199515.67元；第二期应支付利息837.97元（199515.674.2），归还本金486.37元，仍欠银行贷款199029.30元，以此类推。此种还款模式相对于等额本金还款法的劣势在于支出利息较多，还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐渐返还供款中本金比重增加。但该方法每月的还款额固定，可以有计划地控制家庭收入的支出，也便于每个家庭根据自己的收入情况，确定还贷能力。该方法比较适用于现
9、期收入少，预期收入将稳定或增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳定的人士，一般为青年人，特别是刚开始工作的年轻人也适合选用这种方法，以避免初期太大的供款压力。,等额本息还款表,以最新贷款基准利率为准，以万元贷款为例，不同年限的贷款每月还款金额为：,还款法利息计算,等额本息还款法的利息计算：等额本息还贷，先算每月还贷本息：BX=a*i(1+i)N/(1+i)N-1 等额本息还贷第n个月还贷本金：B=a*i(1+i)(n-1)/(1+i)N-1 等额本息还贷第n个月还贷利息：X=BX-B=a*i(1+i)N/(1+i)N-1-a*i(1+i)(n-1)/(1+i)N-1（注：BX=等额本息还贷每月
10、所还本金和利息总额，B=等额本息还贷每月所还本金，a=贷款总金额 i=贷款月利率，N=还贷总月数，n=第n期还贷数 X=等额本息还贷每月所还的利息）,等额本金法 等额本金是指一种贷款的还款方式，是在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，这样由于每月的还款本金额固定，而利息越来越少，贷款人起初还款压力较大，但是随时间的推移每月还款数也越来越少。等额本金贷款计算公式：每月还款金额=（贷款本金/还款月数）+（本金-已归还本金累计额）每月利率,等额本金还款法还款金额：每月应还本金：a/n 每月应还利息：an*i/30*dn 每月应还总金额：a/n+an*i/30
11、*dn（注：a：贷款本金，i：贷款月利率，n：贷款月数，an：第n个月贷款剩余本金，a1=a,a2=a-a/n,a3=a-2*a/n.以次类推an 第n个月的实际天数，如平年2月为28，3月为31，4月为30，以次类推）,等额本金还款法利息计算 每月应还利息：an*i/30*dn,等额本金与等额本息还款法对比,等额本息还款法特点：等额本息还款法本金逐月递增，利息逐月递减，月还款数不变;相对于等额本金还款法的劣势在于支出利息较多，还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐渐返还供款中本金比重增加。但该方法每月的还款额固定，可以有计划地控制家庭收入的支出，也便于每个家庭根据自己的收入情况，确定还贷能
12、力。等额本金还款法特点：等额本金还款法本金保持相同，利息逐月递减，月还款数递减；由于每月的还款本金额固定，而利息越来越少，贷款人起初还款压力较大，但是随时间的推移每月还款数也越来越少。二者相比，在贷款期限、金额和利率相同的情况下，在还款初期，等额本金还款方式每月归还的金额要大于等额本息。但按照整个还款期计算，等额本金还款方式会节省贷款利息的支出。总体来讲，等额本金还款方式适合有一定经济基础，能承担前期较大还款压力，且有提前还款计划的借款人。等额本息还款方式因每月归还相同的款项，方便安排收支，适合经济条件不允许前期还款投入过大，收入处于较稳定状态的借款人。两种还款方法比较，最终到期算，等额本息比等额本金要多付出可观利息。,
