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1、1,一阶隐式方程,求解思想方法,采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型.,主要研究以下四种类型,1.6 一阶隐式微分方程,2,定义,3,1 形如,方程的解法,4,(I)若求得(4)的通解形式为,将它代入(3),即得原方程(2)的通解,(II)若求得(4)的通解形式为,则得(2)的参数形式的通解为,5,(III)若求得(4)的通解形式为,则得(2)的参数形式的通解为,6,附注1:,附注2:,7,解:,整理化简后得方程,例1 求解方程,8,解得(7)的通解为:,将它代入(6)得原方程的通解:,又从,解得(7)的一个解为:,从,9,将它代入(6)得原方程的一个解:,故原方程的解为:,通解:,
2、及一个解:,10,(奇解与包络在第二章第四节中详细讨论,这里不妨先理解为特殊解与积分曲线族),11,例2.求在第一像限中的一条曲线,使其上每一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积均等于2.,解:,因此,切线在坐标轴上的,12,因所求曲线在第一象限,由题意得,即,即,13,故得通解为:,它是直线族.,得另一特解为:,这是双曲线,显然这才是我们所要求的一条曲线.,14,2 形如,方程的解法,15,若求得(10)的通解形式为,则得(9)的参数形式的通解为,16,例3 求解方程,解:,方程变形为:,17,即,解以上微分方程得:,因而:,故方程的通解参数形式为,习惯通解记成:,18,1 形如,方程的解法,即满足:,19,两边积分得,于是得到原方程参数形式的通解为,20,解的步骤:,“关键一步也是最困难一步”,21,例4 求解方程,解,22,故原方程参数形式的通解为,由于,积分得,23,2 形如,方程的解法,解的步骤:,“关键一步也是最困难一步”,24,例5 求解微分方程,解,由于,积分得,25,故原方程参数形式的通解为,26,注:方程有多种解法,用一(1)型,27,作业,P46 1,3,5,7,
