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1、高等几何,课 程 概 论,一、高等几何的内容,什么是射影几何？,欧氏几何,仿射几何,射影几何,十九世纪名言,一切几何学都是射影几何,鸟瞰下列几何学,欧氏几何(初等几何),搬动,正交变换,对图形作有限次的平移、旋转、轴反射,欧氏几何,研究图形的正交变换不变性的科学,(统称不变性，如距离、角度、面积、体积等),研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数量,仿射几何,平行射影,仿射变换,仿射几何,研究图形的仿射变换不变性的科学,透视仿射变换,有限次平行射影的结果,仿射不变性,比如平行性、两平行线段的比等等,射影几何,中心射影,射影变换,射影几何,研究图形的射影变换不变性的科学,透视变换,有限次中心射影
2、的结果,射影不变性,比如几条直线共点、几个点共线等等,射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念！,第四章仿射坐标与仿射平面,4.1透视仿射与仿射对应 一、平行射影与仿射对应 二、仿射不变性与仿射不变量4.2仿射坐标系 一、仿射变换的代数表示 二、特殊的仿射变换,一、平行射影与仿射对应,两直线间的平行射影与仿射对应两平面的平行射影与仿射对应：,4.1透视仿射与仿射对应,（一）.两直线间的平行射影与仿射对应,1.平行射影或透视仿射：,若直线,且,，,点A,B,C,D,过点A,B,C,D作直线的平行线交于,，则可得直线,到直线,的一个映射。,称为平行射影或透视仿射，记为 T,原象点：A,B,C,D
3、直线a上的点,平行射影的方向：直线,透视仿射与方向有关，方向变了，则得到另外的透视仿射,O,点 O 为自对应点或二重点(同一平面上两相交直线的公共点),2.仿射对应：,仿射对应是透视仿射链或平行射影链,表示透视仿射链，T表示仿射,仿此，每一个对应点都可以这样表示。,注：,1.仿射是有限回的平行射影组成的,2.判断仿射是否是透视仿射的方法：对应点的联线是否平行,3.书写的顺序与平行射影的顺序是相反的,平面到平面的仿射是有限回平行射影的积组成的，是透视仿射链。,2.仿射：,（二）.两平面的平行射影与仿射对应：,1.平行射影：,如图,点A,B,C共线a，则 共线,g,A,B,C,a,l,两相交平面的
4、交线为自对应点的集合即透视轴,二、仿射不变性与不变量,定义,仿射不变性与不变量：经过一切仿射对应不变的性质和数量,仿射图形：经过任何仿射对应不改变的图形.仿射性：经过任何仿射对应不改变的性质.仿射量：经过任何仿射对应不改变的数量.,（一）.仿射不变性,1.仿射对应保持同素性.（几何元素保留同一种类而不改变）即点对应点，直线对应为直线.,2.保持点与直线的结合性,3.保持两直线间的平行性.（反证法）,4.平行四边形是仿射不变的图形.,思考1：菱形、正方形、梯形是仿射不变的图形吗？,（二）.仿射不变量,1.单比：,设A,B,C为三点共线，则有向线段的比：,称为这三点的单比（简比），记作,单比(AB
5、C)等于点C分割线段AB的分割比的相反数,当点 C 在线段 AB 上时，(ABC)0,当点 C 在线段 AB或 BA的延长线上时，,当点 C 与点A重合时，,当点 C 与点B重合时，,当点 C 为线段 AB的中点时，(ABC)=-1,则点C称为分点，A,B 两点称为基点,(ABC)0,(ABC)=0,(ABC)不存在即,根据单比的定义可得出以下结论：,当点 C 趋向无穷远时，(ABC)=1,例1,经过点A(-3,2)和B(6,1)两点直线被直线x+3y-6=0截于P点，求简比（ABP）。,解:,设,点P在直线x+3y-6=0上.,x+3y-6=0,定理,共线三点的单比是仿射不变量.,定理,两平
6、行线段之比是仿射不变量.,A,B,C,=,=,要证:,A,B,C,D,E,可作DE AC,=,=,A,B,C,D,E,证明:,如图,作DE AC,=,=,单比是仿射不变量,推论,一直线上两线段之比是仿射不变量.,思考2：,一般的，任意两线段长度之比，是不是仿射不变量？,推论1,在仿射变换下，任何两个多边形面积之比是仿射不变量,推论2,在仿射变换下，任何两个封闭图形的面积之比是仿射不变量,定理,任意两个三角形面积之比是仿射不变量.,小结,仿射不变性,同素性、结合性、平行性,注：垂直、角平分线不具有仿射不变性,相切性、中点、重心、对称中心,仿射图形,仿射不变量：,共线三点的简比,图形面积的比,定理
7、,任意两个三角形面积之比是仿射不变量.,证明:,分两种情形,特殊情形:有两对对应点在对应轴g上并且重合.如图,A,B,C,g,一般情形:如图,对应三角形的三对对应顶点都不在对应轴上,ABC与,对应,三对对应边相交于对应轴g上.,A,B,C,g,X,Y,Z,由 的证明可得:,4.2仿射坐标系,设有仿射坐标系xoy，以E为单位点（如图）。一个仿射变换T将平面上一点P变换为一点，求 P的坐标（x,y）和 在坐标系xoy下的坐标 之间的关系。,一、仿射变换的代数表示,x,y,O,P(x,y),或者写为,且,因为 三点不共线，三点不共线,所以行列式不为0.,例1.求出使点 分别变为 的仿射变换。,【解】
8、设所求仿射变换为：,分别将：的坐标代入上式：,解此方程组得：,故所求仿射变换为：,练习：求使得直线x+2y-1=0上的点（1，-1）变为（-1,2），其它点都不变的仿射变换。,例2,求仿射变换 的不变点和不变直线。,解:,（1）求不变点：设x=x,y=y，因此得,解得不变点的坐标为x=-6，y=-8。,（2）求不变直线：设任意直线l方程为：ax+by+c=0（*）若1为不变直线，则像1 的方程可设为：ax+by+c=0,将变换代入得到 a(3xy+4)+b(4x2y)+c=0，即（3a+4b）x(a+2b)y+4a+c=0。（*）因为（*）式与（*）式表示同一直线，,将=2代入方程组得,a=4
9、,b=1，c=16。故不变直线为4xy+16=0；将=1代入方程组得,a=1,b=1，c=2。故不变直线为xy2=0；将=1代入方程组得,a=0,b=0，c=1。就本章内容而言，=1时，自对应直线不存在，故所求自对应直线为：4xy+16=0和xy2=0。,求使直线x=0,y=0,x+2y-1=0分别变为直线x+y=0,x-y=0,x+2y-1=0,的仿射变换.,练习:,解:,设所求的仿射变换为,则有:,由以上(1),(2),(3)联立解得,二、常见的仿射变换,1.正交变换,正交变换使平面上共线三点变成共线三点;不共线三点变成不共线三点,而且保持两直线的夹角不变.,(1).平移变换,(2).旋转
10、变换,(3).轴反射变换,二、常见的仿射变换,2.位似变换,注.位似变换的基本性质(1)对应点连线经过定点(位似中心);(2)保持共线三点的简单比不变;(3)使得直线(不过O)变为其平行直线;(4)使得任意一对对应线段的比值等位似比k.,3.相似变换,注.相似变换的基本性质(1)保持共线三点的简单比不变.(2)使得任意图形变成其相似图形;使平行直线变为平行直线.(3)保持任意两条线段的比值不变.从而保持两直线夹角不变.(4)正交变换、位似变换都是其特例.,1,4.压缩变换,变为椭圆：,由此可知，圆的仿射象为椭圆。,圆：,例3.计算椭圆 的面积。,【解】设有一圆：，其面积为,取仿射变换为均匀压缩变换：,则该圆的仿射象为椭圆。设它的面积为S则,例4 已知平行四边形ABCD的边AB,BC上各有一点E、F，且EF/AC,试证明AED与CDF面积相等。,T,例5 设ABCDEF是椭圆的内接六边形，AB/DE,BC/EF,试证明CD/AF,T,作业,习题4.2第1题复习题四第1题,
