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1、一 介质格林函数法 耦合带状线 耦合微带,第14讲 微带线理论,14 微带线理论,一、Green函数的基本概念,1.函数 函数是广义函数,(24-1),(24-3),(24-2),一 介质格林函数法(),Dielectric Greens Function Method,函数有各种物理解释，其中之一是“概率论”中必然事件的概率密度。2.Green函数 Green函数解决一类普遍问题，不仅是电磁场，而且在力学、流体、空气动力诸方面都有应用，其问题提法是：复杂区域V，在内部有任意源g，已知场u服从,(24-4),一、Green函数的基本概念,图 24-2(x)函数,一、Green函数的基本概念,图
2、 24-3 Green函数法,一、Green函数的基本概念,(a)算子方程问题(b)Green函数问题,对于(r/r)特殊源所对应的是Green函数，有(24-5)为了普遍化，我们把 函数的归一性积分写成(24-6)Dirac内积符号，表示积分或，注意 对 起作用。L对 起作用，可以建立恒等式,一、Green函数的基本概念,(24-7)根据Operater的线性有(24-8)对比可以得到(24-9),一、Green函数的基本概念,归结出：只要求出某一类(特定支配方程和边界条件)问题的Green函数，那么，这一类问题中任意源 在点 造成的场 只需由 和 函数的广义内积求得。最简单的如三维静场(2
3、4-10)若简洁写成,一、Green函数的基本概念,可知对应的Green函数是(24-11),一、Green函数的基本概念,从更广义的物理方法论来理解：式(24-5)可以看成是(24-4)即原问题的伴随问题，若令 且La=L(术语上称之为自伴)，也即(24-12),(24-4),(24-5),按这一观点,一、Green函数的基本概念,由于 函数的特殊性质，实际上式(24-13)可进一步写成(24-14)而式(24-14)正是互易定理的表达形式。,(24-13),(24-9),如果问题的区域是分层媒质，则可用镜象法求出Green函数。采用镜象法的基础是Maxwell方程组的唯一性定理。它可以叙述
4、为：在给定区域符合微分方程和边界条件的解是唯一的。因此，也可以反过来说，只要符合方程和边界条件，则这个解必定正确。所谓镜像法，其第一要点是分区求解；第二要,二、镜象法,点是在求解区域之外添加镜象电荷代替边界，使之符合求解区域之内的方程及边界条件。例1 半无限空间导体前的点电荷(也即 源)。解 先写出分区解和分区边界条件 支配方程(24-15),二、镜象法,边界条件,图 24-4 导体镜像法分区求解,二、镜象法,其中，为导体面电荷。很明确：解是分区的。现在采用镜像法 根据图24-5，很易看出：(24-17)式(24-17)满足支配方程(24-15)是显然的。,二、镜象法,下边考察其边界条件情况。
5、(1)当x=0,二、镜象法,(2)再研究导数条件,求解时，在Region加镜像电荷(q)求解时，在Region加镜像电荷(q)图 24-5 镜像电荷均加在求解区域之外,二、镜象法,对比边界条件式(24-16)，易知(24-18)为了验证的面电荷密度性质，验证下列积分，采用yoz的极坐标，即dydz=rdrd(24-19),二、镜象法,作为副产品易知，这种问题的Green函数于是(24-21)上面整个过程即采用镜像法求取Green函数。,二、镜象法,图 24-6 yoz的极坐标,二、镜象法,二维问题的介质Green函数的一般模型如图24-7。在右半空间d处放一无限长线电荷，密度为。,三、二维介质
6、Green函数,图 24-7 介质镜像法,同样，分区域求解 支配方程(24-22)边界条件(24-23),三、二维介质Green函数,求解Region 在假设 求解Region 在假设总电荷为 图 24-8 介质分区域求解，,三、二维介质Green函数,所有镜像均在求解区域外。Note：在我们假设中，两空间均是0，当然也可以 是0r。求解Region时，实际上包括真实电荷和镜像。这样模型满足支配方程是没有问题的，现写出(24-24),三、二维介质Green函数,也可以改写为(24-25)式中(24-26),三、二维介质Green函数,现在，让我们考察解与边界条件的关系。于是由函数边界条件有(2
7、4-27),三、二维介质Green函数,导数边界条件,三、二维介质Green函数,又得到(24-28)解方程得所以，结果有,三、二维介质Green函数,很明显看出：是负电荷，而是正电荷(原因是r1)。,一 介质格林函数法(),Dielectric Greens Function Method,图 25-1 三层介质镜像法,微带问题,介质Green函数问题,微带问题可以采用介质格林函数求解。,微带情况：可以看成是由空气、介质和导体三个区域。中心导体带电荷q，这是由于加正压所致，所以只需加三层介质的Green函数即可。,一、三层介质镜像法,其中(yy0)是为了不确定位置，使求解Microstrip
8、时更加方便。,(1-1),我们仍然采用分区域求解,边界条件 x=h(25-2)(25-3),两个边界，三种model，反复迭代,一、三层介质镜像法,一、三层介质镜像法,处理x=h边界第一次介质条件,导体反对称条件处理x=0边界,处理x=h边界第二次介质条件,一、三层介质镜像法,注意到在区域，不应有真实电荷，即应满足Laplace方程。x=0是导体的奇对称对称轴，使0；x=h是介质对称轴。Case 1.真实电荷+1在Region(空气0)中。根据前面的讨论：在求解Region和Region时把两个区域都认为充满0，已解出:,一、三层介质镜像法,Case 2.“真实”电荷+1在Region，也认为
9、全部充空气0,一、三层介质镜像法,求解Region 求解Region图 25-2+1处于Region,首先要看出：x+(2i-1)h和x-(2i+1)h对于x=h对称，只要代入即可知2ih，2ih距离相等。全空间(Full space)充满0可知(25-4),一、三层介质镜像法,在边界x=h上，得到解出 也就是说：(2i-1)h点反映到(2i+1)h应乘 因子，而解Region时应乘 因子。,一、三层介质镜像法,(25-5),1.Region求解 注意真实电荷在Region，只能是+1，同时它应与区域Region作边界拟合。,一、三层介质镜像法,一、三层介质镜像法,图 25-3 求解Regio
10、n 图 25-4 求解Region,一、三层介质镜像法,上式可简要写成(25-6)为方便起见，对第一电荷不再区分h和h。,一、三层介质镜像法,2.Region求解,一、三层介质镜像法,也可简要写为(25-7)注意到h符合上述表述，它显然符合同时，反对称组合使|x=00得以满足。,一、三层介质镜像法,3.x=h处=边界条件检验。,一、三层介质镜像法,(25-8),十分明显，|x=h=|x=h。,一、三层介质镜像法,(25-9),4.x=h处 边界条件检验,一、三层介质镜像法,(25-10),显见,一、三层介质镜像法,(25-11),(25-12),我们把写成Green函数,二、微带问题介质Gre
11、en函数法,(25-13),图 25-5 矩量法求解,设(y0)是线上电荷分布(25-14),二、微带问题介质Green函数法,离散化后为,V0线上电压,二、微带问题介质Green函数法,(25-15),(25-16),(25-17),选定m个点，每个点都处于Wn中间(相当于Point Matching)(25-18)写成Matrix Form其中(25-20),二、微带问题介质Green函数法,(25-19),按照定义即能得到 其中(25-22)表示归一化电荷密度，微带特性阻抗：,二、微带问题介质Green函数法,(25-21),(25-23),作业：如图在两无限大平行理想导体板之间的一电流
12、元IL位于x-y平面内与水平方向成角。试求电流元及其镜像所形成的矢势表达式.已知 i向电流元形成的矢势为 这里 ai为i=x,y,z向单位矢量；r 为场点矢径；ro为源点矢径；k为波数；IL为电流元的大小。,解答：设电流元为A，其与X轴的正向成则有 其中，由电流元在完善导体平面上的镜像可以知道：当电流元垂直于导体平面时，其镜像方向与电流元相同，当电流元平行于导体平面时，其镜像方向与电流元相反。,由于两相互平行的导体板在存在，所产生的镜像为两个无穷系列。此无穷系列分别由电流元的X和Y分量产生。每一系列又由上导体的镜像和下导体的镜像组成。它们分别仅位于上导体板的上方和下导体的下方。故有 其中：,参
13、考文献：,1.梁昌简明微波.2.喻志远.导波理论基础.,试证明在均匀各向同性无耗微带电路中，其传输主模式为准TEM模,证明：设微带电路的传播方向为Z向，在空气和介质贩交界面上有：切向电场，（a）法向电场（b）切向磁场,(c)法向磁场(d)其中带撇的表示界面的介质一侧的场量，不带撇的表示界面两侧的空气一侧的场量。界面两侧的电磁场当然满足麦克斯韦方程，,因此根据式（）为介质中 空气中 分别对以上两边取x分量，则得到 在界面上利用边界条件(a),于是有(e),再利用边界条件(d),并注意到对于相位常数为 的单模导行波有 把这些关系代入式(9.1.2),整理后可得（f）这是介质界面两侧的磁场所必须满足
14、的关系。由于在介质-空气交界面上，垂直于界面的磁场分量Hy不可能处处为零，而且介质片的，故式(a)的右边不等于零；由此推出其左边也一定不等于零，这就证明了必定有磁场的纵向分量存在。,同理可得到（g）因此只要垂直于界面的电场分量不处处为零，则必然存在电场的纵向分量。这样我们就一般地证明了微带中的任何导行波必定有纵向场分量。换句话说，纯的TEM波是不可能在微带中单独存在的。这个结论是严格推理的结果，是无可怀疑的。由以上分析可以看出，微带中的模式非TEM波，是由空气介质面处的边缘分量Ez和Hz引起的，与导体下的横向场分量相比，纵向场分量很小，所以微带中的主模式称为准TEM模。这种模式实际上是一种混合模式。,
