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1、1,复习,初等函数,(1),都在复平面内,处处解析,(2)有理函数,在除去,的零点,的复平面内解析,(3)对数函数,幂函数,处处解析,在定义区域内,非初等函数,处处不解析,在复平面内,关于z,的任何多项式,等,在除去原点,复平面内处处,与负实轴的,解析,3.2 柯西积分定理,C,起点,终点,2,设C是以,为中心的正向圆周,整数,令,C是以原点为中心的正向圆周,整数,例如,3,Th3.3 若,在单连通,解析,则,任何一条,的积分为零,一、单连通区域上的柯西积分定理,C,设C,Th3.4,若,则,例1 计算积分,其中C是正向圆周：,解,在闭区域,上处处解析,所以,例2 计算积分,在闭区域,上处处解
2、析,沿D内,区域D内,简单闭曲线C,因为,解,因为,是一条简单,闭曲线,在闭区域,上解析,4,定义3.2,若,在D内,解析，,且,则称,为,在D内,的一个,原函数,若,定理3.5,在单连通域D内,解析,则,是终点,的解析函数,且,即,是解析函数,的原函数,积分算法四：,牛莱公式,若,是,的原函数，,则,在单连通域D内,解析,5,例1,计算,解,是解析函数，,且,练习1,计算,解,练习2,6,Th3.8,闭曲线C1,如果函数,在C,C1,则,证明,该区域,现把它变成,则,在这个,起点A,根据定理3.4,B,沿其整个,的积分,二、多连通区域上的柯西积分定理,边界上,同向相等,异向互为相反数,(逆时
3、针),取正向,设闭曲线C,(逆时针),取正向,围成的,区域内,解析、,连续,是多连通区域,单连通区域,单连通,边界上,区域内,解析、,连续,边界封闭曲线,等于零,积分算法五,7,闭曲线,若,在C,C1,C2,C3,则,定理3.8,或,同向相等,异向互为相反数,边界上,设闭曲线C,(逆时针),取正向,C1,C2,C3,(逆时针),取正向,围成的,区域内,解析、,连续,8,闭路变形原理,将封闭曲线C,连续变形,C1,如果,封闭曲线,的奇点，,沿封闭曲线,不会改变,解析函数,则,即,设C,的任何一条,如果,在C的内部，,则,整数,如果,在C的外部，,则,在C围成,成封闭曲线C1,在变形过程中,不经过
4、,的积分值,正向简单,闭曲线,是不经过,的闭区域,处处解析,9,设C是,如果原点,在C的内部，,则,整数,如果原点,在C的外部，,则,在C围成,的闭区域,处处解析,的任何一条,正向简单,闭曲线,不经过原点,10,例1 计算,其中C:,解,在C的内部,例2 计算,其中C：,正向,解,在C的内部,正向,原式,11,例3 计算,其中C是,解,例4 计算,其中C：,为正向,解,的任何一条,正向简单,闭曲线,包含,圆周：,12,例5,设C:,正向，,计算,（1）,（2）,（1）,解,被积函数,的奇点为,在C内部,（2）,被积函数,的奇点为,在C外部,49页9（4）,被积函数,的奇点为,13,49页 10
5、,C是不经过,解,的正向简单,是不等于零,其中,(1),都不在,(2),只有一个,(3),全部在,的复数,闭曲线,在C的内部,C的内部,C的内部,原式,原式,原式,14,例7计算,其中C:,解,被积函数,的奇点为,正向,15,例8 计算,其中C：,为正向,解,被积函数,的奇点为,被积函数在闭区域,上处处解析,例9 计算,其中C是,解,原式,正向圆周：,16,设,在单连通域D内,解析,且不等于零,C是D内的任何一条封闭曲线,问积分,补例.,是否等于零？,为什么？,答：一定等于零.,因为,在D内解析,所以,在D内解析,在D内不等于零,于是,在D内解析,沿D内的任何一条封闭曲线C,的积分为零,因此,
