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1、,概率论与数理统计第三 讲,主讲教师：王燕杰,邮箱：,在实际问题中,除了要考虑某事件A的概率P(A)外，有时还要考虑在“事件B已经发生”的条件下，事件A发生的概率。,1.4.1 条件概率,I.条件概率的概念,通常记事件B发生的条件下,事件A发生的概率为 P(A|B)。,一般情况下，P(A|B)P(A)。,1.4 条件概率,例1：100件产品中有5件不合格品，而5件不合格品中又有3件是次品，2件是废品。现从100件产品中任意抽取一件，假定每件产品被抽到的可能性都相同，求,(1).抽到的产品是次品的概率；(2).在抽到的产品是不合格品条件下,产品是 次品的概率。,解：,设 A=抽到的产品是次品，B
2、=抽到的产品是不合格品。,(1).按古典概型计算公式，有,可见，P(A)P(A|B)。,(2).由于5件不合格品中有3件是次品，故可得,虽然 P(A)与 P(A|B)不同，但二者之间存在什么关系呢?,先来计算P(B)和P(AB)。,因为100件产品中有5件是不合格品，所以P(B)=5/100。,P(AB)=3/100。,而P(AB)表示事件“抽到的产品是不合格品、又是次品”的概率，再由100件产品中只有3件即是不合格品又是次品，得,通过简单运算，得,有,P(A)=1/6，,又如：掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,求P(A|B)。,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就
3、是B。,于是，P(A|B)=1/3。,B中共有3个元素，每个元素出现是等可能的，且其中只有1个(2点)在集合A中。,可以得到：,受此启发，对条件概率进行 如下定义。,若事件B已发生,则为使 A也发生,试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点,即此点必属于AB。由于我们已经知道B已发生,故B就变成了新的样本空间,于是 就有(1)。,II.条件概率定义,为在事件B发生条件下，事件A的条件概率。,定义1:设A、B是两个事件，且P(B)0，称,III.条件概率的性质,设B是一事件，且P(B)0,则,1.对任一事件A，0P(A|B)1;,2.P(|B)=1；,而且，前面对概率所证明的一切性质，也都适用
4、于条件概率。,3.设A1,A2,互斥，则,例2：有外观相同的三极管6只，按电流放大系数分类,4只属甲类,两只属乙类。不放回地抽取三极管两次,每次只抽一只。求在第一次抽到是甲类三极管的条件下,第二次又抽到甲类三极管的概率。,解:记Ai=第 i 次抽到的是甲类三极管,i=1,2,A1A2=两次抽到的都是甲类三极管,由第2讲中的例，可知,再由P(A1)=4/6=2/3，得,由条件概率的定义：,即 若P(B)0,则 P(AB)=P(B)P(A|B),(2),而 P(AB)=P(BA)，,1.4.2 乘法公式,在已知P(B),P(A|B)时,可反解出P(AB)。,将 A、B的位置对调，有,故 P(A)0
5、，则P(AB)=P(A)P(B|A)。(3),若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A)，,当 P(A1A2An-1)0 时，有 P(A1A2An）=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1).,多个事件乘法公式的推广:,例 3:一批灯泡共100只，其中10只是次品，其余为正品，作不放回抽取，每次取一只，求:第三次才取到正品的概率。,解：设 Ai=第 i 次取到正品,i=1,2,3。A=第三次才取到正品。则:,例4：袋中有同型号小球b+r个，其中b个是黑球，r个是红球。每次从袋中任取一球，观其颜色后放回,并再放入同颜色，同型号的小球c 个。若 B=第一、第三次取到红球,第二
6、次取到黑球，求P(B)。,解:设Ai=第 i 次取到红球,i=1,2,3,则,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。,综合运用,加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥,乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0,1.4.3 全概率公式与贝叶斯公式,例5:有三个箱子,分别编号1,2,3。1号箱装有1红球,4白球;2号箱装有2红球,3白球;3号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱,再从箱中任取一球，求取到红球的概率。,解：记 Ai=球取自 i 号箱,i=1,2,3;B=取得红球。,即 B=A1BA2BA3B，且 A1B、A2
7、B、A3B两两互斥。,B发生总是伴随着A1,A2,A3 之一同时发生，,于是，P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B),运用加法公式,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式。,对和式中的各项运用乘法公式得,设A1,A2,An是两两互斥的事件，是样本空间的一个划分，且P(Ai)0,i=1,2,n;另有一事件B,它总是与A1,A2,An 之一同时发生，则,全概率公式,在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易,但总可以适当地构造一组两两互斥的Ai,使B伴随着某个Ai 的出现而出现，且每个 P(Ai B)容易计算。可用所有 P(Ai B)之和计算 P(B)。,由
8、公式,“全部概率”P(B)，可分成多个“部分概率”P(Ai B)之和。,它的理论和实用意义在于:,不难看出:,某一事件B的发生有各种可能的原因Ai(i=1,2,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是,每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式。,P(AiB)=P(Ai)P(B|Ai),我们还可以从另一个角度去理解全概率公式。,由此可以形象地把全概率公式看成是：由原因推结果，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了因果之间的关系。,诸Ai是原因B是结果,实际中还有下面一类问题：已知结果
9、求原因。,这一类问题在实际中常见，它所求的是条件概率，是某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小。,接上例，考虑如下问题：,或者问：“该球取自各箱的可能性大小”。,某人从任意一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率。,考虑上边例子：记 Ai=球取自 i 号箱，i=1,2,3;B=取得红球。,所求为 P(A1|B)。,运用全概率公式 计算P(B),将上述公式一般化，就得贝叶斯公式。,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出。它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率。,贝叶斯公式,设A1,A2,An是两两互斥的事件，是样本空间的一个划分，且P(Ai)0
10、，i=1,2,n;另有一事件B,它总是与A1,A2,An 之一同时发生，则,例6:某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,则 表示“抽查的人不患癌症”。,解：设 A=抽查的人患有癌症,B=试验结果是阳性。,求 P(A|B)。,已知:,现在来分析一下结果的意义：,代入数据计算，得 P(A|B)=0.1066。,(2).检出阳性是否一定患有癌症?,(1).该试验对于诊断一个人是否患有癌有无 意义？,由贝叶斯公式，得,如果不做试验，抽查一人,他是癌症患者的概
11、率 P(A)=0.005。,患者阳性反应的概率是0.95，若试验后呈阳性反应，则根据试验得到的信息：此人是癌症患者的概率为 P(A|B)=0.1066。,说明试验对于诊断一个人是否患癌症有意义。,概率从0.005增加到0.1066,约增加了21倍。,(1).该试验对于诊断一个人是否患有癌症有无 意义？,(2).检出阳性是否一定患有癌症?,试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为 P(A|B)=0.1066。,即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过其他试验来确认。,贝叶斯公式,在贝叶斯公式中，P(A
12、i)和P(Ai|B)分别称为原因的验前概率和验后概率。,P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步的信息(不知道事件B是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识。,当有了新的信息(知道B发生)，人们对诸事件发生可能性大小 P(Ai|B)有了新的认识。,例7：8支步枪中有5支已校准过,3支未校准。一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为0.8；用未校准的枪射击时，中靶概率为0.3。现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶。求：所用的枪是校准过的概率。,解：设 A=射击时中靶，B1=枪校准过,B2=枪未校准，则 B1,B2 是一个划分，由贝叶斯公式，得,例8：一批同型号的螺钉由编号为I,II
13、,III的三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为35%,40%,25%。各台机器生产的螺钉的次品率分别为3%,2%和1%。现从该批螺钉中抽到一颗次品。求:这颗螺钉由I,II,III号机器生产的概率各为多少?,解：设 A=螺钉是次品,B1=螺钉由I号机器生产,B2=螺钉由II号机器生产,B3=螺钉由III号机器生产。,则,由贝叶斯公式，得,P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)=0.25,P(A|B1)=0.03，P(A|B2)=0.02，P(A|B3)=0.01。,小结,本节首先介绍条件概率的定义与计算；然后利用条件概率公式得到了乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式；通过多个实例，从各方面分析、讲解了上述公式的理论意义、实际意义及应用范围。,
