【教学课件】第4章离散时间系统的时域分析.ppt

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1、第4章离散时间系统的时域分析,教学提示：在理解离散时间信号的概念时，不能把离散时间信号狭隘地理解为连续信号的抽样或近似。在掌握离散时间系统的分析方法时，在许多方面要与连续时间系统的分析方法相比较，找出相似处，也要找出他们之间的重要差异。在学习离散时间系统的完全响应时，需弄清楚单位样值响应、零状态响应、零输入响应、自由响应、强迫响应、瞬态响应、稳态响应之间的关系。教学要求：本章让学生掌握离散时间系统的数学模型的建立及差分方程的求解方法；熟练掌握离散时间系统的齐次解和特解、零输入响应和零状态响应、单位样值响应和单位阶跃响应的求解；掌握系统的特性及因果性和稳定性的判断；熟练掌握常见基本序列卷积和、

2、卷积和的性质以及求卷积和的常用方法；利用MATLAB进行离散系统的时域分析等。离散时间系统的分析方法在许多方面与连续时间系统的分析方法有着并行的相似性。但在参照连续时间系统的某些方法学习离散时间系统理论的时候，必须注意它们之间存在着一些重要差异，这包括数学模型的建立与求解、系统性能分析以及系统实现原理等。,信号与系统,目录,4.1 LTI离散时间系统的数学模型及其求解方法4.2 离散时间系统的响应4.3 离散序列卷积(和)4.4 离散时间系统的响应与系统特性4.5 利用MATLAB进行离散系统的时域分析,4.1 LTI离散时间系统的数学模型及其求解方法,离散时间系统的作用是将输入序列转变为输出

3、序列，系统的功能是完成将输入x(n)转变为输出y(n)的运算，记为离散时间系统的作用如图4.1所示。,图4.1 离散时间系统的作用示意图,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,(4-1),离散时间系统与连续时间系统有相似的分类，如线性、非线性和时变、非时变等。运算关系满足不同条件，对应着不同的系统。本书只讨论“线性时不变离散系统”即LTI离散系统。4.1.1 LTI离散系统与LTI连续系统相同，LTI离散系统应满足可分解、线性(叠加、比例)以及时不变特性。离散系统的线性与时不变特性的示意图分别如图4.2和图4.3所示。,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,图4.2 系统的线性,

4、图4.3 离散时间系统的时不变特性,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,第4章离散时间系统的时域分析,下面通过具体例题讨论离散系统的线性时不变特性。【例4-1】判断下列系统是否为线性系统。,(1),(2),。,；,解：(1),所以是非线性系统。(2),所以是线性系统。,信号与系统,【例4-2】判断下列系统是否为时不变系统。,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,(1),(2),。,；,所以是时不变系统。,(2),所以,，是时变系统。,解：(1),4.1.2 LTI离散系统的数学模型差分方程,LTI离散系统的基本运算有延时(移序)、乘法、加法，基本运算可以由基本运算单元实现，由

5、基本运算单元可以构成LTI离散系统。,1.LTI离散系统基本运算单元的框图及流图表示(1)延时器的框图及流图如图4.4所示。,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,图4.4 延时器的框图及流图表示,图4.4中，,是单位延时器，有时亦用D、T表示。离散系统延时器的作用与连续系统中的积分器相当。(2)加法器的框图及流图如图4.5所示。,(3)乘法器的框图及流图如图4.6所示。,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,图4.5 加法器的框图及流图表示,图4.6 乘法器的框图及流图表示,利用离散系统的基本运算单元，可以构成任意LTI离散系统。,线性时不变连续系统是由常系数微分方程描述的，而线

6、性时不变离散系统是由常系数差分方程描述的。在差分方程中构成方程的各项包含有未知离散变量的y(n)，以及y(n+1)、y(n+2)、y(n-1)、y(n-2).下面举例说明系统差分方程的建立。,2LTI离散系统的差分方程,【例4-3】系统方框如图4.7所示，写出其差分方程。,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,图4.7 例4-3离散时间系统方框图,解：,或,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,(4-2),式(4-2)左边由未知序列 y(n)及其移位序列 y(n-1)构成，因为仅差一个移位序列，所以是一阶差分方程。若还包括未知序列的移位项 y(n-2)、y(n-N),则构成N阶差分

7、方程。,未知(待求)序列变量序号最高值与最低值之差是差分方程阶数；各未知序列序号以递减方式给出 y(n+1)、y(n+2)、y(n-1)、y(n-2).称为前向形式差分方程。在状态变量分析中习惯用前向形式。,【例4-3】系统方框如图4.7所示，写出其差分方程。,图4.7 例4-3离散时间系统方框图,【例4-4】系统框图如图4.8所示，写出其差分方程。,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,图4.8 例4-4离散时间系统框图,解：,或,这是一阶前向差分方程，与后向差分方程形式相比较,仅是输出信号的输出端不同。前者是从延时器的输入端取出，后者是从延时的输出端取出。,下面由具体例题讨论离散系统

8、数学模型的建立。,3、数学模型的建立及求解方法,【例4-5】电路如图4.9所示，已知边界条件,，求第n个节点电压,的差分方程。,，,解：与任意节点,关联的电路如图,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,4.10所示，由此对任意节点,可写出节点方程为,整理得到,或,上式是一个二阶后向差分方程，借助两个边界条件可求解出,。这里,代表电路图中,节点的顺序。,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,图4.9【例4-5】离散时间系统,图4.10【例4-5】任意节点电路,第4章离散时间系统的时域分析,或,N阶LTI离散系统的数学模型是常系数N阶线性差分方程，它的一般形式是,前面所讨论的差分方程

9、其自变量取的都是时间，此例说明差分方程描述的离散系统不仅限于时间系统。本书将自变量取为时间只是习惯上的方便，实际上差分方程的应用遍及许多领域。,(4-4),4.2 离散时间系统的响应,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,一般差分方程的求解方法有下列四种：(1)递推(迭代)法。此法直观简便，但往往不易得到一般项的解析式(闭式或封闭解答)，它一般为数值解，如例4-6。(2)时域法。与连续系统的时域法相同，分别求解离散系统的零输入响应与零状态响应，完全响应为二者之和。其中零输入响应是齐次差分方程的解，零状态响应可用卷积的方法求得，这也是本章的重点。

10、(3)时域经典法。与微分方程求解相同，分别求差分方程的通解(齐次解)与特解，二者之和为完全解，再代入边界条件后确定完全解的待定系数。(4)变换域法。与连续系统中用拉氏变换相似，离散系统可利用Z变换求解响应，优点是可简化求解过程。这种方法将在第8章讨论。当系统的阶数不高，并且激励不复杂时，用迭代(递推)法可以求解差分方程。,4.2.1 线性差分方程的求解方法,【例4-6】,已知,，且,，,，求,。,解：,最后,与微分方程的时域经典解法类似，差分方程的解由齐次解和特解两部分组成。齐次解用,符号,表示，特解用,表示，即,其中齐次解的形式由齐次方程的特征根确定，特解的形式由方程右边激励信号的形式确定。

11、,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,4.2.2 经典法求解差分方程,(4-5),后向差分方程式,的齐次方程为,其特征方程为,或,特征方程的根称为特征根，N阶差分方程有N个特征根,根据特征根的不同情况,，齐次解将具有不同的形式。,时，齐次解的形式为,(4-6),当特征根是k阶重根r时，齐次解的形式为,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,，,当特征根是不等的实根,(4-7),当特征根是共轭复根,，,齐次解的形式为,时，,特解的形式与激励信号的形式有关。表4-1列出了常用激励信号所对应的特解表示形式。,式(4-6)式(4-8)中的待定系数,，,，,，,，,在完全解的形式,确定后，由

12、给定的,个初始条件来确定。,或,或,(是差分方程的特征根),(不是差分方程的特征根),第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,表4-1 常用激励信号所对应的特解表示式形式,得到齐次解的表示式和特解后，将两者相加可得全解的表示式。将已知的,个初始条件,，,，,代入完全解中，即可求得齐次解表示,式中的待定系数，亦即求出了差分方程的全解。下面举例说明差分方程的经典求解法。,【例4-7】若描述某离散系统的差分方程为,已知初始条件,，,；激励,，试求方程的全解,解：求齐次解：上述差分方程的特征,解得特征根为两个不等实根,其齐次解为,求特解：由于输入是阶跃序列,，因此特解的形式为,第4章离散时间系统

13、的时域分析,信号与系统,将特解代入差分方程，得,解出待定系数,特解为,差分方程的全解为,代入初始条件，有,解得,最后得方程的全解为,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,从上面例题可以看出，常系数差分方程的全解由齐次解和特解组成。齐次解的形式与系统的特征根有关，仅依赖于系统本身的特性，而和激励信号的形式无关，因此称为系统的固有响应，也称自由响应。而特解的形式取决于激励信号，称为强制响应，也称强迫响应。系统的响应还可分解为暂态响应和稳态响应。暂态响应是指系统完全响应中，随着时间的增加而趋于零的部分，中的前两项。稳态响应是指系统完全响应中随时间的增加而不趋于零的部分，如中的最后一项。同连续

14、时间LTI系统一样，离散时间LTI系统的完全响应可以看做是初始状态与输入激励分别单独作用于系统产生的响应叠加。其中，由初始状态单独作用产生的输出响应称为零输入响应，记作,离散时间系统,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,；而由输入激励单独作用产生的输出响应称为零状态响应，记作,。因此，系统的完全响应,为,(4-9),4.2.3 LTI离散时间系统的零输入响应,线性时不变离散系统的数学模型是常系数线性差分方程，系统零输入响应是常系数线性齐次差分方程的解。为简化讨论，先从一阶齐次差分方程求解开始。,1.一阶线性时不变离散系统的零输入响应,一阶线性时不变离散系统的齐次差分方程的一般形式为,将

15、差分方程改写为,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,仅与前一时刻,有关，以,为起点：,当,时，齐次方程为,(4-11),由式(4-11)可见，,是一个公比为,的几何级数，其中,取决于初始条件,，这是式(4-10)一阶系统的零输入响应。,利用递推(迭代)法的结果，可以直接写出一阶差分方程解的一般形式。因为一阶差分方程的特征方程为,(4-12),第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,由特征方程解出其特征根为,与齐次微分方程相似，得到特征根,后，就得到一阶差分方程齐次解的一般形式为,，其中由始条件决定。,2.N阶线性时不变离散系统的零输入响应,有了求一阶齐次差分方程解的一般方法，将

16、其推广至,阶齐次差分方程，有,(4-13),阶齐次差分方程的特征方程为,(4-14),第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,(1)当特征根均为单根时，特征方程可以分解为,(4-15),利用一阶齐次差分方程的一般形式，可类推得,阶线性齐次差分方程的解是这,个线性无关解的线性组合，即,(4-16),式中，,由,个边界条件确定。,(4-17),第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,写为矩阵形式,(4-18),即,(4-19),其解系数为,(4-20),(2)当特征方程中,是,重根时，其特征方程为,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,(4-21),零输入解的模式为,(4-22),式

17、中，,对应的解为,，,，此时,式中，,由,个边界条件,，,，,，,，,，,，,确定。,且,，求零输入响应,解：这是三阶差分方程，其特征方程为,即,是三重根,的模式为,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,【例4-8】已知某离散系统的差分方程,代入边界条件得,整理得,解出,因为,最后得到,(3)特征方程有复根。与连续时间系统类似，对实系数的特征方程，若有复根必为共轭成对出现，形成振荡(增、减、等幅)序列。一般共轭复根既可当单根处理，最后整理成实序列，又可看做整体因子。,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,所以解的一般形式为,代入初始条件可以计算出系数A、B【例4-9】已知某系统差分

18、方程,且,，求,解：这是四阶差分方程，其特征方程为,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,(二重),方法一：,代入边界条件,由式(A)式(D)得,由式(A)式(C)得,代入式(C)，得,由式(B)解出,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,特征根,(A),(B),(C),(D),方法二：,由式(,)式(,)得,由式(,)式(,)得,分别代入式(,)、式,(,)，解出,，则,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,(A),(B),(C),(D),由此例可见，N阶差分方程的N个边界条件可以不按顺序给出。,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,4.2.4 离散时间系统的零状态响

19、应,与连续时间系统相似，用时域法求离散系统的零状态响应，必须知道离散系统的单位脉冲响应h(n)。通常既可用迭代法求单位脉冲响应，也可以用转移算子法求单位脉冲响应。由于迭代法的局限性，我们重点讨论由转移算子法求单位脉冲响应，为此先讨论离散系统的转移(传输)算子。,1.离散系统的转移(传输)算子类似连续时间系统的微分算子，离散系统也可用移序(离散)算子表示。由此可得到差分方程的移序算子方程，由算子方程的基本形式可得出对应的转移算子H(E)。移序(离散)算子定义：,(1)超前算子E,(4-23),(4-25),第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,(2)滞后算子,(4-24),于是有,或,N

20、阶前向差分方程的一般形式为,可以改写为,定义转移(传输)算子,与连续时间系统相同，H(E)的分子、分母算子多项式表示运算关系，不是简单的代数关系，不可随便约去。与连续时间系统的转移(传输)算子不同，H(E)表示的系统既可以是因果系统，也可以是非因果系统。如图4.11所示为H(E)=E的简单非因果系统。从时间关系看，该系统的响应出现在激励前，所以是非因果系统。,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,用算子表示为,图4.11 简单非因果离散时间系统,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,2.单位样值响应,在连续线性系统中，研究了单位冲激,作用于系统引起响应,，对于离散线性系统，由,也可

21、称为单位脉冲响应，记为,方法，下面介绍两种常用方法。,产生的系统零状态响应定义为单位样值响应，,。有几种可求系统的单位样值响应的,(1)迭代法下面由具体例题介绍用迭代法求单位样值响应的方法。,【例4-10】已知某系统的差分方程为,利用迭代法求,。,解：当,时，,，且因果系统的,，所以有,一般项：,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,当系统的阶数较高时，用迭代法不容易得到h(n)的一般项表示式，可以把,等效为起始条件，将问题转化为求解齐次方程(零输入)的解。这种方法称为转移(传输)算子法。,N阶系统的传输算子为,设H(E)的分母多项式D(E)均为单根，即,将H(E)部分分式展开，有,第4

22、章离散时间系统的时域分析,信号与系统,(2)转移算子法已知,(4-28),(4-29),式(4-29)中任一子系统的传输算子为,(4-30),由此得到任一子系统差分方程，并对其中任一子系统的传输算子求,(4-32),(4-31),将式(4-32)的激励等效为初始条件，把问题转化为求解齐次方程(零输入)的解。由于因果系统的,，令,，代入式(4-32)，得,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,则,再令,，代入式(4-32)得,解出,，即为等效的初始条件。,因为齐次方程解的形式为,，代入等效边界条件,，解出,，由此得出,的一般形式为,(4-33),代入式(4-29)，,的一般形式为,(4-

23、34),第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,解出,若将,第4章离散时间系统的时域分析,展开为,(4-35),(4-36),(4-34)代入上式，得,将式,信号与系统,则对应的,为,的一般形式为,(4-37),求系统的脉冲响应,。,【例4-11】已知某系统的差分方程为,解：方程同时移序2个位序,对应不同的转移算子，有不同的h(n),序列与之对应，见表4-2。,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,代入式(4-29)，,注：,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,表4-2 对应的,已知任意离散信号可表示为,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,，并且,，那么与连续时间系

24、统的时域分析法相同，基于离散LTI系统的线性与时不变特性，可以用时域方法求解系统的零状态响应。,3.LTI离散时间系统的零状态响应,因为,由时不变性,由比例性,最后由叠加性,(4-38),式(4-38)是离散序列卷积公式。因为离散序列卷积是求和运算，所以又称其为卷积和，也有称其为卷和的。利用变量代换，卷积的另一种形式为,(4-39),离散序列的卷积公式简写为,(4-40),以上推导表明，与求解差分方程不同，离散系统的时域分析法是利用单位脉冲响应，通过卷积完成系统的零状态响应求解。,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,(4-41),若令,，正是求解零状态响应的式(4-38)。,离散序列的

25、卷积与连续信号的卷积有平行相似的性质与运算关系，这里我们不加证明地给出结论。离散时间信号卷积和是计算离散时间LTI系统零状态响应的有力工具，同连续时间信号卷积积分一样重要，下面将详细介绍卷积和的运算与性质。,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,4.3 离散序列卷积(和),离散序列卷积的一般表达形式为,(2)把其中的一个信号翻转，如将,翻转得,(3)把,平移n，得,，n是参变量。,时，图形右移；,时，图形左移；,(4)将,与,相乘；,(5)对乘积后的图形求和。,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,4.3.1 卷积的运算离散序列卷积计算的基本方法有图解法、对位相乘求和法。,1图解法

26、图解法的步骤与连续信号的卷积相似，可以分为以下5步。(1)将、中的自变量n改为k，k成为函数的自变量；,，其中，,解：让,折叠位移，则,当,时，,当,时，,当,时，,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,【例4-12】已知,求,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,求解过程与结果如图4.12所示。,图4.12 例4-12求解过程与结果,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,信号与系统,第4章离散时间系统的时域分析,2相乘对位求和法当两个有限长序列卷积时，可用简单的竖式相乘对位相加法。下面举例说明竖式相乘对位相加法。,【例4-13】已知,，求,解：将两个序列的样值分成两行排列

27、，逐位竖式相乘得到(三行)：,按从左到右的顺序逐项将竖式相乘的乘积对位相加，结果是,也可以,为了计算方便，将常用序列卷积(和)结果列于表4-3。,信号与系统,第4章离散时间系统的时域分析,序号,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,也可用MATLAB计算 x(n)与h(n)的卷积。计算例4-13卷积的MATLAB程序与结果为,x=1，2，3；h=3，2，1；con v(x，h)%卷积计算ans=3 8 14 8 3,4.3.2 卷积的性质,(1)当,分别满足可和条件，卷积具有以下,代数性质,交换律,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,(4-42),分配律,(4-43),结合律,

28、(4-44),(2)任意序列与,卷积,(4-45),(4-46),(3)任意序列与,卷积,(4-47),第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,(4)卷积的移序,(4-48),(4-49),4.4 离散时间系统的响应与系统特性,由前面的分析可知离散时间系统的全响应,与零状态响应，即,(4-50),【例4-14】已知系统的差分方程,，边界条件,，求系统的全响应。,解：(1)激励在,时接入，且,其解为零状态响应。,系统的转移算子为,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,4.4.1 系统完全响应的时域求解方法,可分为零输入,，所以为零状态，,响应为,查表4-2的第3条，可得,【例4-15】

29、已知系统的差分方程,，边界条件,，求系统的全响应。,解：此题与上题除边界条件不同外，其余都相同，可分别求其零状态与零输入响应。零状态响应方程与解同上题,由,，得零输入响应的一般表示形式为,代入初始条件,解出,全响应,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,单位脉冲响应,则,4.4.2 系统完全响应分解与连续系统相同，完全响应可按不同的分解方式，分解为零状态响应、零输入响应、自由响应、强迫响应、瞬态响应、稳态响应。若完全响应分解为零状态响应和零输入响应，由所给定的边界值可分为零输入边界,、零状态边界,两部分。,(4-51),在零输入情况下，,，所以,(4-52),在零状态情况下,(4-53)

30、,而系数,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,(4-54),同样，完全响应中不随n增长而消失的分量为稳态响应，随 n增长而消失的分量为瞬态响应。,要指出的是以上分析中边界条件可不按序号0、1、2、N-1给出，只要是 N阶方程有N个边界条件即可。,对因果系统零状态是指,特别地，若,，则,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,从而有：,时接入激励，,【例4-16】已知系统的差分方程,条件,，用经典法求系统的完全响应，,，并指出各响应分量。,解：齐次解,特解,代入原方程,完全解为,再解出完全边界条件。,由,，解得,，代入完全解,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,系统的全响应

31、边界条件中一般包含两部分，一部分为系统零输入时的边界条件，另一部分为系统零状态时的边界条件。应根据给定的情况正确判断所给定的边界条件。,，边界,式中，,为自由响应，瞬态响应；,为强迫响应，稳态响应。,此题与例4-15相同，所以,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,所以完全解为,4.4.3 冲激响应表示的系统特性,1级联系统的冲激响应两个离散时间系统的级联如图4.13所示。若两个子系统的冲激响应分别为,和,，则信号,通过第一个子系统,将第一个子系统的输出作为第二个子系统的输入，则可求出该级联系统的输出,根据卷积积分的结合律性质，有,的输出为,式中，,可见，两个离散时间子系统级联所构成系统

32、的冲激响应等于两个子系统冲激响应的卷积。也就是说，图4.13(a)所示两个系统等效于图4.13(b)所示的单个系统。根据卷积的交换律，两个子系统冲激响应的卷积可以表示成,即交换两个级联系统的先后连接次序不影响系统总的冲激响应 h(n)，图4.13(a)和图4.13(c)是等效的。,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,图4.13 离散时间系统的级联,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,事实上，这个结论对任意多个LIT离散时间系统的级联或连续时间系统级联都成立。,2并联系统的冲激响应,两个离散时间系统的并联如图4.14(a)所示。若两个子系统的冲激响应分别为,和,，则信号,子系统

33、的输出分别为,通过两个,整个并联系统的输出为两个子系统输出,和,之和，即,应用卷积和的分配律性质，上式可写成,式中，,可见，两个离散子系统并联所构成系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应之和。也就是说，图4.14(a)所示两个系统的并联等效于图4.14(b)所示的单个系统。,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,图4.14 离散时间系统的并联,。,事实上，这个结论可以推广到任意多个LIT离散时间系统的并联或连续时间系统并联。,【例4-17】已知某系统如图4.15所示，试求该系统的单位脉冲响应,是级联关系，,再与,对于全通支路，输入/输出满足下面关系,第4章离散时间系统的时域分析,第4章

34、离散时间系统的时域分析,信号与系统,解：从图4.15可见子系统,与,支路、,全通支路与,、,级联支路并联，,级联。,可见，全通支路离散系统的冲激响应为函数,。因此,图4.15【例4.17】图,【例4-18】已知单位脉冲响应,，判断系统的因果稳定性。,解：因为,时，,，所以是因果系统；且有,时系统稳定，因此,时为不稳定系统。,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,由于,4.5 利用MATLAB进行离散系统的时域分析,4.5.1 离散时间系统零状态响应的求解大量的LIT离散时间系统都可用如下线性常系数差分方程描述,式中，f(n),y(n)分别表示系统的输入和输出，k是差分方程的阶数。已知差分

35、方程的 k个初始状态和输入f(n)，就可以通过编程由下式迭代计算出系统的输出。,在零初始状态下，MATLAB信号处理工具箱提供了一个专用函数filter()。该函数能求出由差分方程描述的离散系统，在指定时间范围内的输入序列时所产生的响应序列的数值解。filter()函数的调用方式为,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,y=filter(b,a,x),其中b和a是由描述系统的差分方程的系数决定的表示离散系统的两个行向量，x是包含输入序列非零样值点的行向量。上述命令将求出系统在与x的取值时间点相同的输出序列样值，即输出向量y包含了与输入向量x所在样本同一区间上的样本。【例4-19】已知描述

36、离散系统的差分方程为且已知该系统输入序列为,试用MATLAB实现下列分析过程：画出输入序列的时域波形；求出系统零状态响应在020区间的样植；画出系统的零状态响应的波形图。,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,a=1-0.25 0.5;b=1 1;t=0:20;x=(1/2).t;y=filter(b,a,x)subplot(2,1,1)stem(t,x)title(输入序列)subplot(2,1,2)stem(t,y)title(响应序列),可以调用filter()函数来解决此问题。实现这一过程的MATLAB命令如下：,解：,程序的运行结

37、果为：,y=Columns 1 through 7 1.0000 1.7500 0.6875-0.3281-0.2383 0.1982 0.2156 Columns 8 through 14-0.0218-0.1015-0.0086 0.0515 0.0187-0.0204-0.0141 Columns 15 through 21 0.0069 0.0088-0.0012-0.0047-0.0006 0.0022 0.0008,图4.16 离散系统的输入及响应序列波形图,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,绘制的系统输入及响应序列波形图如图4.16所示。,需要注意的是，filter()

38、函数将向量x以外的输入序列样值均视为零，这样若输入序列为时间无限长序列，则用filter()函数计算系统响应时，在输出向量y的边界样点上，将会产生一定的偏差。利用filter()函数，还可以方便地求出由差分方程描述的离散系统的阶跃响应，此时，只需将输入信号定义为单位阶跃序列即可。,【例4-20】已知描述离散系统的差分方程为试用MATLAB绘出该系统单位阶跃响应的时域波形。,信号与系统,第4章离散时间系统的时域分析,解：,只要将输入序列定义为单位阶跃序列，再调用filter()函数和stem()函数即可解决此问题，实现这一过程的MATLAB命令如下：,a=1 1 0.25;b=1;t=0:15

39、;x=ones(1,length(t);y=filter(b,a,x);stem(t,y);title(离散系统阶跃响应)xlabel(n);ylabel(g(n),图4.17 离散系统阶跃响应序列波形图,信号与系统,第4章离散时间系统的时域分析,绘制的系统阶跃响应序列波形图如图4.17所示。,信号与系统,第4章离散时间系统的时域分析,4.5.2 离散时间系统单位脉冲响应的求解,LTI离散系统当输入单位序列时产生的零状态响应称为系统的单位脉冲响应，用表示。在MATLAB中，求解离散时间系统单位脉冲响应，可应用信号处理工具箱提供的函数impz()。impz()函数能绘出向量a和b定义的离散

40、系统在指定时间范围内单位的时域波形，并能求出系统单位响应在指定时间范围内的数值解。,注意：在用向量表示差分方程描述的离散系统时，缺项要用0来补齐。例如，对差分方程,则表示该离散系统的对应向量应为：,a=1 0 8；b=1 1；,Impz()函数有如下几种调用格式：,1impz(b，a),式中，b=b0，b1，b2，bN，a=a0，a1，a2，aN分别是差分方程左、右端的系数向量。该调用格式以默认方式绘出向量a和b定义的离散系统的单位响应的离散时间波形。例如，若描述某离散系统的差分方程为：,运行如下MATLAB命令：则绘出该离散系统的单位响应的时域波形，如图4.18所示。,a=1-1 0.9;

41、b=1;impz(b,a),图4.18 离散系统的单位响应波形一,2impz(b，a，n)该调用格式将绘出由向量a和b定义的离散系统在0n(n必须为整数)离散时间范围内单位响应的时域波形。对上例，若运行如下命令：a=1-1 0.9;b=1;impz(b,a,60)则绘出系统在060取样点范围内单位响应的离散时间波形，如图4.19所示。,信号与系统,第4章离散时间系统的时域分析,图4.19 离散系统的单位响应波形二,3impz(b，a，n1：n2)该调用格式将绘出由向量a和b定义的离散系统在n1n2(n1、n2必须为整数，且n1n2)离散时间范围内单位响应的时域波形。对上例，若运行如下命令：a

42、=1-1 0.9;b=1;impz(b,a,-10:40)则绘出系统在1040离散时间范围内单位响应的时域波形，如图4.20所示。,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,图4.20 离散系统的单位响应波形三,4y=impz(b，a，n1：n2)该调用格式并不绘出系统单位响应的时域波形，而是求出向量a和b定义的离散系统在n1n2离散时间范围内的系统单位响应的数值解。对上例，若运行命令：a=1-1 0.9;b=1;y=impz(b,a,-5:10)运行结果为：y=0 0 0 0 0 1.0000 1.0000 0.1000-0.8000-0.8900-0.1700 0.6310 0.7840

43、 0.2161-0.4895-0.6840,【例4-21】已知描述某离散系统的差分方程如下：,试用MATLAB绘出该系统050时间范围内单位响应的波形。解：首先用向量a和b表示该系统，然后再调用impz()函数即可解决此问题。实现上述过程的MATLAB命令如下：,信号与系统,第4章离散时间系统的时域分析,a=2-2 1;b=1 3 2;impz(b,a),绘制的系统单位,响应波形如图4.21所示。,图4.21 离散系统的单位响应波形四,卷积是用来计算系统零状态响应的有力工具。MATLAB信号处理工具箱提供了一个计算两个离散序列卷积和的函数conv()，其调用方式为c=conv(a，b)式中，

44、a、b为待卷积两序列的向量表示；c是卷积结果。向量c的长度为向量a、b长度之和减1，即length(c)=length(a)+length(b)1。,【例4-22】已知序列,计算,信号与系统,第4章离散时间系统的时域分析,4.5.3 离散卷积的计算,并画出卷积结果。,解：%program 3_5x=2,1,3,4;y=2,1,2,1,2;z=conv(x,y);N=length(z);stem(0:N-1,z);,conv()函数也可以用来计算两个多项式的积。例如多项式,和,a=2,0,3,4;b=1,5,8;c=conv(a,b),上面语句运行的结果为c=2 10 19 19 44 32,即,绘制的,的波形如图4.22所示。,第4章离散时间系统的时域分析,信号与系统,程序运行结果为z=1 3 6 10 10 9 7 4,图4.22 两信号的卷积波形,

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