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1、第6章 解线性方程组的迭代法,直接法得到的解是理论上准确的，但是我们可以看得出，它们的计算量都是n3数量级，存储量为n2量级，这在n比较小的时候还比较合适（n400），但是对于现在的很多实际问题，往往要我们求解很大的n的矩阵，而且这些矩阵往往是系数矩阵就是这些矩阵含有大量的0元素。对于这类的矩阵，在用直接法时就会耗费大量的时间和存储单元。因此我们有必要引入一类新的方法：迭代法。迭代法具有的特点是速度快。与非线性方程的迭代方法一样，需要我们构造一个等价的方程，从而构造一个收敛序列，序列的极限值就是方程组的根,对方程组,做等价变换,如：令,，则,则，我们可以构造序列,若,同时：,所以，序列收敛,与
2、初值的选取无关,定义6.1：（收敛矩阵）,6.1 Jacobi迭代,格式很简单：,Jacobi迭代算法,1、输入系数矩阵A和向量b，和误差控制eps2、x1=0,0,.,0,x2=1,1,.,1/赋初值3、while(|A*x2-b|eps)x1=x2;for(i=0;in;i+)x2i=0;for(j=0;ji;j+)x2i+=Aij*x1j for(j=i+1;jn;j+)x2i+=Aij*x1j x2i=-(x2i-bi)/Aii 4、输出解x2,迭代矩阵,记,易知，Jacobi迭代有,收敛条件,迭代格式收敛的充要条件是G的谱半径1。对于Jacobi迭代，我们有一些保证收敛的充分条件,定
3、理：若A满足下列条件之一，则Jacobi迭代收敛。,A为行对角占优阵,A为列对角占优阵,A满足,证明：,A为列对角占优阵，则AT为行对角占优阵，有,证毕,6.2 GaussSeidel迭代,在Jacobi迭代中，使用最新计算出的分量值,Gauss-Siedel迭代算法,1、输入系数矩阵A和向量b，和误差控制eps2、x2=1,1,.,1/赋初值3、while(|A*x2-b|eps)for(i=0;in;i+)for(j=0;ji;j+)x2i+=Aij*x2j for(j=i+1;jn;j+)x2i+=Aij*x2j x2i=-(x2i-bi)/Aii 4、输出解x2,迭代矩阵,是否是原来的
4、方程的解？,A=(D-L)-U,收敛条件,迭代格式收敛的充要条件是G的谱半径1。我们看一些充分条件,定理：若A满足下列条件之一，则Jacobi迭代收敛。,A为行或列对角占优阵,A对称正定阵,证明：,设G的特征多项式为,，则,为对角占优阵，则,时,为对角占优阵,即,即,证毕,注：二种方法都存在收敛性问题。有例子表明：Gauss-Seidel法收敛时，Jacobi法可能不收敛；而Jacobi法收敛时，Gauss-Seidel法也可能不收敛。,1、预处理,2、格式,3、结果,1、Jacobi迭代,特征值为,2、GaussSiedel迭代,6.3 松弛迭代,记,则,可以看作在前一步上加一个修正量。若在
5、修正量前乘以一个因子,，有,对GaussSeidel迭代格式,写成分量形式，有,松弛迭代算法,1、输入系数矩阵A、向量b和松弛因子omega，和误差控制eps2、x2=1,1,.,1/赋初值3、while(|A*x2-b|eps)for(i=0;in;i+)temp-0 for(j=0;ji;j+)temp+=Aij*x2j for(j=i+1;jn;j+)temp+=Aij*x2j temp=-(x2i-bi)/Aii x2i=(1-omega)*x2i+omega*temp 4、输出解x2,迭代矩阵,定理：,松弛迭代收敛,定理：,A对称正定，则松弛迭代收敛,是否是原来的方程的解？,SOR方
6、法收敛的快慢与松弛因子的选择有密切关系.但是如何选取最佳松弛因子,即选取=*,使()达到最小,是一个尚未很好解决的问题.实际上可采用试算的方法来确定较好的松弛因子.经验上可取1.41.6.,定理 若SOR方法收敛,则02.,证 设SOR方法收敛,则()1,所以|det()|=|12 n|1,而 det()=det(D-L)-1(1-)D+U),=det(E-D-1L)-1 det(1-)E+D-1U),=(1-)n,于是|1-|1,或 02,定理 设A是对称正定矩阵,则解方程组Ax=b的SOR方法,当02时收敛.,证 设是的任一特征值,y是对应的特征向量,则,(1-)D+Uy=(D-L)y,于
7、是(1-)(Dy,y)+(Uy,y)=(Dy,y)-(Ly,y),由于A=D-L-U是对称正定的,所以D是正定矩阵,且L=UT.若记(Ly,y)=+i,则有,(Dy,y)=0,(Uy,y)=(y,Ly)=(Ly,y),=-i,0(Ay,y)=(Dy,y)-(Ly,y)-(Uy,y)=-2,所以,当02时,有,(-+)2-(-)2=(2-)(2-)=(2-)(2-)0,所以|21,因此()1,即S0R方法收敛.,可得=2/,设是B的任一特征值,y是对应的特征向量,则,(L+U)y=Dy,于是(Ly,y)+(Uy,y)=(Dy,y),当A对称正定时,即2-0,而(2D-A)y,y)=(Dy,y)+(Ly,y)+(Uy,y)=+2,即,当A对称正定时,Jacobi迭代法收敛2D-A正定.,
