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1、线性代数,西南财经大学经济数学学院,赵建容,目 录,第一章 n 阶行列式第二章 矩阵第三章 线性方程组第四章 线性空间第五章 矩阵的特征值与特征向量第六章 二次型,1.1 n 阶行列式,排列与逆序,n 阶行列式的定义,1.2 行列式的性质,1.3 行列式按行（列）展开定理,1.4 Cramer 法则,行列式的基本性质 及计算方法,利用行列式求解线性方程组,第一章 行列式,用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表,定义,即,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系
2、数行列式,则二元线性方程组的解为,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,例1,解,二、三阶行列式,定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,(1)沙路法,三阶行列式的计算,(2)对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,若记,或,记,即,得,得,则三元线性方程组的解为:,例,解,按对角线法则，有,例3,解,方程左端,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.,引例,用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解,1
3、2 3,1,2,3,百位,3种放法,十位,1,2,3,1,个位,1,2,3,2种放法,1种放法,种放法.,共有,三、排列与及其奇偶性,问题,定义,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）.,个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示.,由引例,同理,在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序.,例如 排列32514 中，,定义,我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,排列的逆序数,3 2 5 1 4,定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.,例如 排列32514 中，,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为
4、3+1+0+1+0=5.,计算排列逆序数的方法,方法1,分别计算出排在 前面比它大的数码之和即分别算出 这 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,排列的奇偶性,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.,方法2,例1 求排列32514的逆序数.,解,在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序数为,5的前面没有比5大的数,其逆序数为0
5、;,1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;,4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;,例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,解,当 为偶数时，排列为偶列，,当 为奇数时，排列为奇排列.,考虑，在 123 的全排列中,有 个偶排列：,有 个奇排列：,123，231，312,132，213，321,3,3,定义：,把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换。,将相邻的两个数对换，称为相邻对换。,将不相邻的两个数对换，称为不相邻对换。,定理,经一次对换改变排列的奇偶性。,证明思路,先证相
6、邻对换，再证一般对换。,设n级排列,经相邻对换变成,显然，这一变化只使a,b两数间的“序”发生变化。所以两个排列的逆序数恰相差1，从而相邻对换改变排列的奇偶性。,再考虑非相邻对换的情形。,设n级排列,经非相邻对换变成新排列,期间共经过2s+1次相邻对换，也即经历了2s+1次,奇偶性的变化，从而最终改变了排列的奇偶性。,推论：,n个数的所有排列中,一半，各为,个。,奇偶排列各占,证明：,设n个数的排列中，,奇排列有 p 个，偶排列有 q 个，,则 pqn！,对 p 个奇排列，施行同一对换，,则由定理得到 p 个偶排列。（而且是p个不同的偶排列）,因为总共有 q 个偶排列，所以,同理,所以,四、n
7、阶行列式的定义,观察三阶行列式,寻找规律,（1）三阶行列式共有 项，即 项,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,定义,说明,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,2、阶行列式是 项的代数和;,3、一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆,例如|-1|=-1;,4、称行列式的自左上角至右下角的对角线为行列式的主对角线，另一条对角线为副对角线；,说明,5、定义表明，计算n阶行列式，首先必须作出所有的可能的位于不
8、同行、不同列的n个元素的乘积，当这些乘积的元素的第一个下标（行标）按自然顺序排列，看第二个下标（列标）所成的奇偶性来决定这一项的符号，偶排列则为正，奇排列则为负。,即 的符号为,例1计算对角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零，,所以 只能等于,同理可得,解,即行列式中不为零的项为,例2 计算上三角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,例3,同理可得下三角行列式,例4 证明对角行列式,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,证毕,补充：符号定理,设,是n阶行列式中的任一项，,则项,的符号等于,的符号.,1、行列式是一种特定的算式，它是
9、根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.,2、阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.,小结,思考题,已知,思考题解答,解,含 的项有两项,即,对应于,第二节 行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,证明,按定义,又因为行列式D可表示为,故,证毕,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,证明,设行列式,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,是由行列式 变换 两行得到的,于是,则有,即当 时,当 时,例如,推论 如果行列
10、式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,故,证毕,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数 乘此行列式.,推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,例如,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,例,应用举例,计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,解,例2 计算 阶行列式,解,将第 都加
11、到第一列得,例3,证明,证明,例4,箭形行列式,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,三、小结,行列式的6个性质,思考题,思考题解答,解,例如,一、余子式与代数余子式,叫做元素 的代数余子式,例如,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即,例如,即有,又,从而,在证一般情形,此时,得,得,中的余子式,故得,于是有,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,二、行列式按行（列）展开法则,例1,证,用数学归纳法,n-1阶范德蒙德行列式,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,同理,关于代数余子式的重要性质,例 计算行列式,解,按第一行展开，得,例 计算行列式,解,1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,三、小结,思考题,求第一行各元素的代数余子式之和,思考题解答,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,
