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1、,第七节二阶常系数线性非齐次微分方程,一、二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构及特解的叠加法二、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法,二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式,它所对应的齐次方程为,定理7.3 设 是二阶常系数线性非齐次微分方程(1)的一个特解，是方程(1)所对应的齐次方程(2)的通解，则,一、二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构及特解的可叠加法,是方程(1)的通解.,例1,解,定理6.4 设 分别是二阶常系数线性非齐次微分方程,的特解，则 是微分方程,的特解，其中p，q是常数.,证,二、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法,1.，其中 是常数，是x的一个m次多项式,此时微分方程
2、(1)成为,可设方程(4)的特解为,约去,得,分三种情形讨论此式：,(1)设 不是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的 根，即.设方程(4)的一个特解为,将 代入方程(4)，比较等式两端x的同次幂系数，得到含有未知系数 的(m+1)个方程，由此定出(m+1)个未知系数，从而得到方程(4)的特解.,(2)设 是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的 单根，即.设方程(4)的一个特解为,将 代入方程(4)，比较等式两端x的同次幂系数，定出(m+1)个未知系数 得到方程(4)的特解.,(3)设 是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的重根，即.设方程(4)的一个特解为,将 代入方
3、程(4)，比较等式两端x的同次幂系数，定出(m+1)个未知系数,得到方程(4)的特解.,小结：,对于二阶常系数线性非齐次微分方程(4),设方程(4)的特解为,Qm是与Pm同次的多项式，即,k的取法为(1)当 不是对应齐次方程的特征根时，取k=0,(3)当 是对应齐次方程的重特征根时，取k=2.,(2)当 是对应齐次方程的单特征根时，取k=1,例2 求微分方程,解,，故得对应齐次方程的通解为,解,而 是特征方程的重根，取k=2.因此，设,例3,(1)先求所给方程对应的齐次方程的通解Y.,(2)再求所给方程的一个特解y*.,解,例4,此时，二阶常系数线性非齐次微分方程(1)成为,例5,解,原方程的一个特解为,(2)再求所给方程的一个特解y*.,(1)先求所给方程对应的齐次方程的通解Y.,例6,解 所给的方程得,例7,解,
