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1、直到现在为止，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式的表达式.现在在这一节，我们将从另一个观点，即函数的观点来考察多项式.,是Px中的多项式，a是数域P中的数，在(1)中用a代替x所得的数为:,第七节 多项式函数,返回,称为f(x)当x=a 时的值，记为f(a).,返回,这样一来，多项式f(x)就定义了一个数域P上的函数.,可以由一个多项式来定义的函数称为数域P上的多项式函数.当P是实数域时，这就是数学分析中所讨论的多项式函数.,因为x在与数域P中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果,返回,那么,利用带余除法，我们得到下面常用的定理：,定理7（余数定理）
2、用一个多项式x-a去除多项式f(x)所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f(a).,证明 用x-a去除f(x)，设商为q(x)，余式为一常数c，于是,返回,以a代x得 f(a)=c.证毕.,如果f(x)在x=a时函数值f(a)=0，那么a就称为f(x)的一个根或零点.,由余数定理我们得到根与一次因式的关系：,推论 a是f(x)的根的充分必要条件是(x-a)|f(x).,由这个关系，我们可以定义重根的概念.a称为f(x)的k重根，如果x-a是f(x)的k重因式.当k=1时，a称为单根，当k1时，a称为重根.,返回,例 问k取何值时，多项式,返回,有重根？,解 f(x)有重根的充分必要条件是f
3、(x)与 不互素.由于，故用 除f(x)，可得,余式为,再用r1(x)去除，得余式为,返回,f(x)与 不互素的充分必要条件是 r1(x)=0 或r2(x)=0，亦即k=3或.,即 k=3或 时，多项式f(x)有重根.,设f(x)是一个次数0的多项式.把f(x)分解成不可约多项式的乘积.由上面的推论与根的重数的定义，显然 f(x)在数域P 中根的个数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不超过n.,返回,定理8 Px中n次多项式(n0)在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数计算.,证明 对零次多项式定理显然成立.,返回,在上面我们看到，每个多项式函数都可以由一个多项式来定义.不同的多项式会
4、不会定义出不同的函数呢？这就是问，是否可能有,而对于P中所有的数 a 都有,f(x)g(x),由定理8 不难对这个问题给出一个否定的回答.,f(a)=g(a)？,定理9 如果多项式f(x),g(x)的次数都不超过n，而它们对n+1个不同的数 a1,a2,an+1 有相同的值，即,f(ai)=g(ai)i=1,2,n+1,那么 f(x)=g(x).,返回,证明 由定理的条件,有,这就是说多项式f(x)-g(x)有n+1个不同的根.如果f(x)-g(x)0，那么它就是一个次数不超过 n 的多项式，但由定理8，它不可能有n+1个根.因此只能,f(ai)-g(ai)=0 i=1,2,n+1,f(x)=g(x).证毕.,因为数域P中有无穷多个数，所以定理 9 说明了，不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数，就把这两个多项式称为恒等，上面的结论表明，多项式的恒等与多项式的相等实际上是一致的.换句话说，数域上的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以作为函数来处理.但是应该指出，考虑到今后的应用与推广，多项式看成形式表达式要方便些.,返回,
