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1、第三节 任意项级数,一、交错级数二、绝对收敛与条件收敛,一、交错级数,交错级数是指它的各项是正负相间(或负正相间)的级数.设 其一般式为,定理9.5(莱布尼茨定理)若交错级数(其中)满足：,则 必定收敛，且其和，其余项 的绝对值.,先考察所给级数前2n项的部分和，,由条件1可知，上式所有括号中的值皆非负，所以 且 为单调增加数列.,如果将 变形为,由条件1知括号中的值皆非负，因此,即 为单调增加且有上界.由极限存在准则可知 存在，记，则.,由于，再由条件，从而，可得,由极限性质：若 中的子列 与 都有极限，且两极限值相等，则 必有极限.因此 收敛，且其和.,由于,若n为偶数，则等式右方括号前取
2、“+”号；,为交错级数.,若n为奇数，则等式右方括号前取“”号.故可知,由前述讨论，知其收敛，且其和,例1 判定 的收敛性.,解 所给级数为交错级数，且,由莱布尼茨定理可知该交错级数收敛.,此级数常称为莱布尼茨级数.,二、绝对收敛与条件收敛,对于任意项级数,(其中 可能取正数，负数或零).,定理8.6 若 收敛，则 必定收敛.,证,由比较判别法知，,再由收敛级数的基本性质8.1可知,由基本性质8.2可知 也收敛.,如果 收敛，则称 绝对收敛.,由前述例子可知 收敛，并不一定能保证 收敛.,如果 收敛，而 发散，则称 条件收敛.,因此可以说，若级数 绝对收敛，则该级数 必定收敛.,例2 判定级数
3、 的收敛性.如果起收敛,那么是绝对收敛还是条件收敛.,解,而 为 的p级数,为收敛的级数.,从而知 收敛,且为绝对收敛.,例3 判定级数 的收敛性(其中p0)，如果其收敛，是绝对收敛，还是条件收敛?,解 记，则.即 为p-级数，因此可知：,当p1时，收敛，,因此 绝对收敛.,但由于 为交错级数，,由莱布尼茨定理可知 收敛，从而为条件收敛.,综上可知,例4 判定级数 的收敛性.如果它收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？,因为 随着n的变大，其符号不规则变化.,解 此级数非交错级数，,为 的p-级数，为收敛级数.,注意其通项,从而知 收敛，且为绝对收敛.,例5 判定级数 的收敛性.,解 此题形似为交错级数，但由，知,为 的p-的级数乘以常数，,在本节的最后，请读者考虑：,思考题1 若任意项级数 发散，是否 必定发散？,思考题2 若级数 发散，是否 必定发散？,
